Esboce o sólido descrito pelas desigualdades dadas.

ρ ≤ 2 ,   0 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,   0 ≤ θ ≤ π / 2

Passo 1

Fala, gente boa! Tudo beleza?

A questão quer que a gente esboce o sólido que é descrito por:

ρ ≤ 2 ,   0 ≤ ϕ ≤ π / 2 ,   0 ≤ θ ≤ π / 2

Bom, como temos uma região em função de ( ρ , ϕ , θ ) , o que temos aqui é uma região descrita em coordenadas esféricas.

Esquema de representação de um ponto em coordenadas esféricas

Então, vamos analisar variável por variável, achar o comportamento de cada uma e entender qual sólido cada uma dessas variações vão formar.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos entender a variação de cada variável no espaço.

  • ρ : Como essa variável é uma distância radial da origem e nós temos que:
  • ρ ≤ 2

    Como 2 é o valor máximo de ρ e ρ parte da origem, pode dizer que essa variável está representando uma circunferência no plano x y de raio 2 .

  • ϕ : Como vemos na imagem do passo 1 , ϕ é um ângulo medido a partir do eixo z . No nosso caso, temos:
  • 0 ≤ ϕ ≤ π 2

    Nosso ϕ percorre só 90 ° .   Então nosso ϕ parte do eixo z e para no plano x y . Isso quer dizer que teremos somente a metade positiva do nosso sólido em relação ao eixo z .

  • θ :

  0 ≤ θ ≤ π / 2

Ou seja, no plano x y temos uma circunferência de raio 2 , porém obedecendo a variação de θ , teremos só 1 / 4 de círculo.

Passo 3

Usando a descrição que achamos, temos nosso sólido.

¼ de uma meia esfera

Resposta

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