Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 40

  1. Faça o gráfico da curva r t = ( sen ⁡ 3 t , sen ⁡ 2 t , sen ⁡ 3 t ) . Em quantos pontos da curva tem-se a impressão de que a curvatura possui um máximo local ou absoluto?
  2. Use um SCA para determinar e fazer o gráfico da função curvatura. Esse gráfico confirma sua conclusão na parte (a)?

Passo 1

Fala ai galerinha. Bora resolver uma questãozinha de gráficos?

Nesta questão temo com objetivo analiar a curva e verificar a quantidade de pontos da curva que possui um máximo ocal ou absoluto. O que podemos fazer para resolver?

Vamos calcular a derivadas de r ( t ) , calcular também a curvatura κ ( t ) , identificar so pontos de máximo local ou aboluto da curvaduta e por fim traçar e analisar visualmente a curvatura por meio de um software

Bora!

Passo 2

Primeira derivada r ' ( t ) :

r ' ( t ) = d d t ( s e n ⁡ ( 3 t ) , s e n ⁡ ( 2 t ) , s e n ⁡ ( 3 t ) ) = ( 3 c o s ⁡ ( 3 t ) , 2 c o s ⁡ ( 2 t ) , 3 c o s ⁡ ( 3 t ) )

Segunda derivada r ' ' ( t ) :

r ' ' ( t ) = d d t ( 3 c o s ⁡ ( 3 t ) , 2 c o s ⁡ ( 2 t ) , 3 c o s ⁡ ( 3 t ) ) = ( - 9 s e n ⁡ ( 3 t ) , - 4 s e n ⁡ ( 2 t ) , - 9 s e n ⁡ ( 3 t ) )

Passo 3

Calcular a curvatura κ t

κ t = ∥ r ' t × r ' ' t ∥ ∥ r ' t ∥ ³

Calculando o produto vetorial r ' ( t ) × r ' ' ( t )

r ' ( t ) = ( 3 c o s ⁡ ( 3 t ) , 2 c o s ⁡ ( 2 t ) , 3 c o s ⁡ ( 3 t ) )

r ' ' ( t ) = ( - 9 s e n ⁡ ( 3 t ) , - 4 s e n ⁡ ( 2 t ) , - 9 s e n ⁡ ( 3 t ) )

r ' t × r ' ' t = i j k 3 cos ⁡ 3 t 2 cos ⁡ 2 t 3 cos ⁡ 3 t - 9   s e n   3 t - 4   s e n   2 t - 9   s e n   3 t

Passo 4

Calculando o determinante:

r ' ( t ) × r ' ' ( t ) = i ( 2 c o s ( 2 t ) ( - 9 s e n ( 3 t ) ) - 3 c o s ( 3 t ) ( - 4 s e n ( 2 t ) ) ) - j ( 3 c o s ⁡ ( 3 t ) ( - s e n ⁡ ( 3 t ) )

Simplificando cada componente:

i - 18 cos ⁡ 2 t sen ⁡ 3 t + 12 cos ⁡ 3 t sen ⁡ 2 t - j 0 + k - 12 cos ⁡ 3 t sen ⁡ 2 t + 18 cos ⁡ 2 t sen ⁡ 3 t

= i 12 cos ⁡ 3 t sen ⁡ 2 t - 18 cos ⁡ 2 t sen ⁡ 3 t + k 18 cos ⁡ 2 t sen ⁡ 3 t - 12 cos ⁡ 3 t sen ⁡ 2 t

= ( 12 c o s ⁡ ( 3 t ) s e n ⁡ ( 2 t ) - 18 c o s ⁡ ( 2 t ) s e n ⁡ ( 3 t ) ) i + ( 18 c o s ⁡ ( 2 t ) s e n ⁡ ( 3 t ) - 12 c o s ⁡ ( 3 t ) s e n ⁡ ( 2 t ) ) k

Passo 5

Calculando a magnitude

κ t = ( 12 cos ⁡ 3 t s e n   2 t - 18 cos ⁡ 2 t s e n 3 t 2 + 18 cos ⁡ 2 t s e n 3 t - ( 12 cos ⁡ 3 t s e n 2 t ) ² ( 18 cos 2 ⁡ 3 t + 4 cos ² ⁡ 2 t ) 3 / 2

Para identificar os pontos onde a curvatura tem máximos locais ou absolutos, precisamos encontrar os pontos onde a derivada da curvatura em relação a t é zero e verificar se esses pontos correspondem a máximos.

Passo 6

Através do gráfico podemos identificar pontos onde a curvatuda tem méximo locais ou absolutos.

a) Usando um software para construir o gráfico temos em cada eixo.

Gráfico de z ( x ) , z em função de x

Gráfico de z ( y ) , z em função de y

Analisando o gráfico aparentemente temos 3 máximos na função.

Passo 7

b)

Ao observar o gráfico da função curvatura κ ( t ) , podemos confirmar se nossa análise está correta. Se o gráfico mostrar picos em locais esperados, como múltiplos de π / 2 , isso confirma nossa análise inicial.

Esse procedimento utilizando um SCA (SymPy) para calcular e plotar a curvatura fornece uma visualização clara e confirma a análise teórica da parte (a).

Resposta

  1. 3
  2. Sim.
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela. x = t
Em que ponto as curvas r 1 t = ( t ,1 - t ,3 + t 2 ) e r 2 s = ( 3 - s ,s - 2 ,s 2 ) se interceptam? Encontre o ângulo entre elas no ponto de intersecção, com precisão de um grau.
Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela. x = t
(a) Determine o ponto de intersecção das retas tangentes à curva r t = ( s e nπ t ,2s e nπ t , cos ⁡ π t ) nos pontos t = 0 e t = 0,5 .(b) Ilustre traçando o gráfico da curva e ambas as tangentes.
Encontre as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado. Ilustre traçando o gráfico da curva e da reta tangente em uma mesma tela. x = 2