Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 30
Em que ponto a curva temcurvatura máxima? O que acontece com a curva quando ?
Passo 1
Olá galerinha. De boa?
O objetivo da questão é determinar o ponto em que a curva dada pela função apresente a curvatura máxima e analisar o comportamento da curvatura da curva quando .
Para encontrar o ponto de curvatura máxima e o comportamente da curva, precisamos seguir alguns passos.
- Encontrar a expressão da curvatura da curva :
- Calcular as derivadas primeira e segunda de
- Substituir e na fórmula da curvatura
- Encontrar o ponto em que a curvatura é máxima derivando em relação a e igualando a zero.
- Analisar o comportamento da curvatura quando
A curvatura de uma curva é dada pela fórmula 11:
Prontinho!
Passo 2
O primeiro passo é obter as duas primeiras derivadas de para depois aplicar a Fórmula 11.
Passo 3
Agora, a partir dos valores obtidos na etapa anterior, aplicamos a Fórmula 11 para determinar a curvatura da função dada. ATENÇÃO nas manipulações feitas passo a passo abaixo!
Substituindo as derivadas
Retirando o módulo do numerados e resolvendo o MMC no denominador.
Podemos começar a resolver com a regra de fração sobre fração. Repetimos a primeira fração e multiplicamos pela inverso da segunda.
Simplificando os expoentes.
Temos
Como a função , só está definida em para , temos
Passo 4
Para encontrara a curvatura máxima precisamos determinar antes, os pontos críticos da função .
Para encontrar o máximo de , derivamos em relação a e igualamos a zero:
Usando a Regra do quociente
Chamamos
Substituindo na equação da derivada
Simplificando o numerador
Simplificando as potências do denominador
Com isso, a derivada da curvatura é:
Passo 5
Praa encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Colocando em evidência
Resolvendo a equação dentro dos colchetes:
Como deve ser posivito (domínio de ):
Portanto, a curvatura máxima ocorre em
Passo 6
Agora vamos fazer uma análise do resultado obtido no passo anterior!
A função obtida acima é nula quando . Ou seja, é abcissa do único ponto crítico de , já que não está definido para a curva , por ser negativo. Agora resta saber se o ponto é referente à um máximo da função.
Vamos então analisar o comportamento de .
Para , temos , ou seja, a função curvatura é crescente.
Para , temos , ou seja, a função curvatura é decrescente.
Assim concluímos que é abcissa do ponto máximo da função curvatura Substituindo esse valor em obtemos a ordenada do ponto da curva em que a curvatura é máxima. Logo, o ponto da curva que têm maior curvatura é
Passo 7
Por fim vamos analisar o comportamento da curva quando . A medida que tende ao infinito, a primeira derivada tende a zero, e a segunda derivada também tende a zero. Isso implica que a curvatura tentea zero:
Quando .
Portanto a curvatura da função ocorre em , a curvatura tende a zero à medida que caminha pro infinito.