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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.3 - Ex. 48

Encontre os vetores T , N e B no ponto indicado.

r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t , ln ⁡ cos ⁡ t

1,0 , 0

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu o seguinte vetor:

r t = cos ⁡ t , sen ⁡ t , ln ⁡ cos ⁡ t

Queremos encontrar os vetores T , N e B no ponto 1,0 , 0 .

Mas como a gente calcula cada um???

Para calcular T usaremos a fórmula

T t = r ' t | r ' t |

Para calcular N usaremos a fórmula

N t = T ' t | T ' t |

Para calcular B usaremos a fórmula

B t = T t × N t

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Para calcular T usaremos a fórmula

T t = r ' t | r ' t |

Calculando r ' t

r ' t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t , - sen ⁡ t cos ⁡ t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t , - tg ⁡ t

E agora calculando o módulo

| r ' t | = - sen ⁡ t 2 + cos ⁡ t 2 + ( - tg ⁡ t ) 2

= 1 + tg 2 ⁡ t = sec 2 ⁡ t = sec ⁡ t

Então

T t = - sen ⁡ t , cos ⁡ t , - tg ⁡ t sec ⁡ t = - sen ⁡ t cos ⁡ t , cos 2 ⁡ t , - sen ⁡ t

Substituindo o ponto 1,0 , 0 , esse ponto acontece quando t = 0

T 0 = 0,1 , 0

Passo 3

Para calcular N usaremos a fórmula

N t = T ' t | T ' t |

Derivando T t

T ' t = - cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t , 2 cos ⁡ t ( - sen ⁡ t ) , - cos ⁡ t

T ' t = - cos ⁡ 2 t , - sen ⁡ 2 t , - cos ⁡ t

Calculando o módulo

| T ' t | = - cos ⁡ 2 t 2 + - sen ⁡ 2 t 2 + - cos ⁡ t 2

| T ' t | = 1 + cos 2 ⁡ t

Substituindo na fórmula

N t = - cos ⁡ 2 t , - sen ⁡ 2 t , - cos ⁡ t 1 + cos 2 ⁡ t

N t = - cos ⁡ 2 t 1 + cos 2 ⁡ t , - sen ⁡ 2 t 1 + cos 2 ⁡ t , - cos ⁡ t 1 + cos 2 ⁡ t

Quando t = 0

N 0 = - 1 1 + 1 , 0 , - 1 1 + 1

N 0 = - 1 2 , 0 , - 1 2

Passo 4

Para calcular B usaremos a fórmula

B t = T t × N t

Como queremos quando t = 1

B 0 = 0,1 , 0 × - 1 2 , 0 , - 1 2

B 0 = i j k 0 1 0 - 1 2 0 - 1 2 = i - 1 2 - j 0 + k 1 2

B 0 = - 1 2 , 0 , 1 2

Resposta

T = 0,1 , 0

N = - 1 2 , 0 , - 1 2

B = - 1 2 , 0 , 1 2

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Suponha que você comece no ponto (0, 0, 3) e se mova 5 unidades ao longo da curva x = 3 s e n t , y = 4 t , z = 3 cos ⁡ t na direção positiva. Onde você está agora?
Trace a curva com equações paramétricas x = s e nt , y = s e n2 t , z = s e n3 t . Encontre o comprimento total desta curva com precisão de quatro casas decimais.
Seja C a curva de intersecção do cilindro parabólico x 2 = 2 y e da superfície 3 z = x y . Encontre o comprimento exato de C da origem até o ponto (6, 18, 36).
Encontre, com precisão de quatro casas decimais, o comprimento da curva de intersecção do cilindro 4 x 2 + y 2 = 4 e do plano x + y + z = 2 .
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T(t) e N(t).(b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r t = ( 2s e nt ,5 t ,2 cos ⁡ t )