Enunciado

Encontre o comprimento do triângulo com vértices A 1 , 2 , - 3 , B 3 , 4 , - 2 e C 3 , - 2 , 1 . O triângulo A B C é retângulo? É isósceles?

Passo 1

Para obtermos o lado de um triângulo, basta calcularmos a distância entre dois vértices. Para isto, vamos lembrar como calcula a distância entre dois pontos. Sejam A x 1 , y 1 , z 1 e B x 2 , y 2 , z 2 , a distância entre eles é:

A B = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2

Para checarmos se um triângulo é isósceles, basta verificarmos se dois lados são iguais! E se ele for um triângulo retângulo, ele satisfaz o teorema de Pitágoras!

Passo 2

Vamos começar determinando os lados do triângulo. Começando pelo lado de vértices A e B , temos:

l 1 = A B = 3 - 1 2 + 4 - 2 2 + - 2 - - 3 2

l 1 = A B = 2 2 + 2 2 + 1 2

l 1 = A B = 9 = 3

Já para o lado de vértices B e C , temos:

l 2 = B C = 3 - 3 2 + - 2 - 4 2 + 1 - - 2 2

l 2 = B C = 0 2 + - 6 2 + 3 2

l 2 = B C = 45 = 3 5

Por fim, temos:

l 3 = A C = 3 - 1 2 + - 2 - 2 2 + 1 - ( - 3 ) 2

l 3 = A C = 2 2 + - 4 2 + 4 2

l 3 = A C = 36 = 6

Passo 3

Como os três lados são diferentes entre si, o triângulo A B C não é um triângulo isósceles. Entretanto, o mesmo satisfaz o teorema de Pitágoras, pois

l 2 2 = l 1 2 + l 3 2

Portanto, ele é um triângulo retângulo!

Resposta

O triângulo é um triângulo retângulo e possui os seguintes lados:

l 1 = A B = 9 = 3

l 2 = B C = 45 = 3 5

l 3 = A C = 36 = 6

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