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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios práticos - Ex. 14

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19.

x = y 2 / 3 ; 1 ≤ y ≤ 8

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre comprimentos de curvas.

Podemos determinar o comprimento da curva pedida utilizando:

L = ∫ y 1 y 2 1 + d x d y 2 d y

Para isso, vamos derivar x em relação a y:

d x d y = 2 3 y - 1 / 3

De modo que:

d x d y 2 = 2 3 y - 1 / 3 2 = 4 9 y - 2 / 3

Passo 2

Aplicando na equação do comprimento da curva, teremos que:

L = ∫ 1 8 1 + 4 9 y - 2 / 3 d y = ∫ 1 8 9 y 2 / 3 + 4 9 y 2 / 3 d y = ∫ 1 8 9 y 2 / 3 + 4 3 y 1 / 3 d y

Que de forma simplifica pode ser reescrita:

L = 1 3 ∫ 1 8 9 y 2 / 3 + 4 y - 1 / 3 d y

Fazendo:

u = 9 y 2 / 3 + 4 = > d u = 2 3 ∙ 9 y - 1 / 3 d y = 6 y - 1 / 3 d y = > y - 1 / 3 d y = d u 6

E os limites de integração mudam para:

y = 1 = > u = 9 ∙ 1 2 / 3 + 4 = 13

y = 8 = > u = 9 ∙ 8 2 / 3 + 4 = 40

Passo 3

Logo:

L = 1 3 ∫ 1 3 40 u d u 6 = 1 18 ∫ 13 40 u 1 / 2 d u = 1 18 ∙ 2 3 u 3 / 2 | 1 3 4 0

Que nos dá:

L = 1 27 ∙ 40 3 / 2 - 13 3 / 2 ≅ 7,634

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

≅ 7,63 4

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