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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios práticos - Ex. 17

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19.

x = 5 cos ⁡ t - cos ⁡ 5 t   e   y = 5 s e n   t - s e n   5 t ; 0 ≤ t ≤ π 2

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre comprimentos de curvas.

Podemos determinar o comprimento da curva pedida utilizando:

L = ∫ t 1 t 2 d x d t 2 + d y d t 2 d t

Para isso, vamos derivar x em relação a t:

d x d t = - 5 s e n   t + 5 s e n   5 t

De modo que:

d x d t 2 = - 5 s e n   t + 5 s e n   5 t 2 = 25 s e n 2   t - 2 s e n   t   s e n   5 t + s e n 2   5 t

De forma similar, vamos derivar y em relação a t:

d y d t = 5 cos ⁡ t - 5 cos ⁡ 5 t

De modo que:

d y d t 2 = 5 cos ⁡ t - 5 cos ⁡ 5 t 2 = 25 cos 2 ⁡ t - 2 cos ⁡ t cos ⁡ 5 t + cos 2 ⁡ 5 t

Passo 2

Daí, temos que:

d x d t 2 + d y d t 2 =

= 25 s e n 2   t - 2 s e n   t   s e n   5 t + s e n 2   5 t + cos 2 ⁡ t - 2 cos ⁡ t cos ⁡ 5 t + cos 2 ⁡ 5 t =

= 5 1 - 2 s e n   t   s e n   5 t + 1 - 2 cos ⁡ t cos ⁡ 5 t = 5 2 - 2 s e n   t   s e n   5 t - cos ⁡ t cos ⁡ 5 t =

= 5 2 1 - cos ⁡ 4 t = 5 4 ∙ 1 2 1 - cos ⁡ 4 t = 5 4 ∙ 1 2 1 - cos ⁡ 4 t =

= 10 s e n 2   2 t = 10 s e n   2 t

Passo 3

Aplicando na equação do comprimento da curva, teremos que:

L = ∫ 0 π 2 10 s e n   2 t d t = ( - 5 cos ⁡ 2 t ) | 0 π 2

Logo:

L = - 5 cos ⁡ π - - 5 cos ⁡ 0 = + 5 + 5 = 10

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

10

Exercícios de Livros Relacionados

Use a Fórmula 2 para deduzir a Fórmula 7 a partir da Fórmula 8.2.5, no Volume 1, para o caso no qual a curva pode ser representada na forma y = F x ,a ≤ x ≤ b .
Calcule.int_0^1 [t vec i + e^t vec j] d t
Calcule.int_1^2 [3 vec i + 2 vec j + vec k] d t
Sejam vec F (t) = t vec i + vec j + e^t vec k e vec G (t) = vec i + vec j + vec k . Calculeint_0^1 vec F (t) * vec G (t) d t
Determine o comprimento do laço delimitado x = t 2 ,y = t 3 3 - t mostrado aqui. O laço começa em t = - 3 e termina em t = 3 .