Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19.

x = 5 * cos(t) - cos(5t) e y = 5 * sen(t) - sen(5t); 0 ≤ t ≤ π/2

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre comprimentos de curvas.

Podemos determinar o comprimento da curva pedida utilizando:

L = ∫ t 1 t 2 d x d t 2 + d y d t 2 d t

Para isso, vamos derivar x em relação a t:

d x d t = - 5 s e n   t + 5 s e n   5 t

De modo que:

d x d t 2 = - 5 s e n   t + 5 s e n   5 t 2 = 25 s e n 2   t - 2 s e n   t   s e n   5 t + s e n 2   5 t

De forma similar, vamos derivar y em relação a t:

d y d t = 5 cos ⁡ t - 5 cos ⁡ 5 t

De modo que:

d y d t 2 = 5 cos ⁡ t - 5 cos ⁡ 5 t 2 = 25 cos 2 ⁡ t - 2 cos ⁡ t cos ⁡ 5 t + cos 2 ⁡ 5 t

Passo 2

Daí, temos que:

d x d t 2 + d y d t 2 =

= 25 s e n 2   t - 2 s e n   t   s e n   5 t + s e n 2   5 t + cos 2 ⁡ t - 2 cos ⁡ t cos ⁡ 5 t + cos 2 ⁡ 5 t =

= 5 1 - 2 s e n   t   s e n   5 t + 1 - 2 cos ⁡ t cos ⁡ 5 t = 5 2 - 2 s e n   t   s e n   5 t - cos ⁡ t cos ⁡ 5 t =

= 5 2 1 - cos ⁡ 4 t = 5 4 ∙ 1 2 1 - cos ⁡ 4 t = 5 4 ∙ 1 2 1 - cos ⁡ 4 t =

= 10 s e n 2   2 t = 10 s e n   2 t

Passo 3

Aplicando na equação do comprimento da curva, teremos que:

L = ∫ 0 π 2 10 s e n   2 t d t = ( - 5 cos ⁡ 2 t ) | 0 π 2

Logo:

L = - 5 cos ⁡ π - - 5 cos ⁡ 0 = + 5 + 5 = 10

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

10

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