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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios práticos - Ex. 15

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19.

y = 5 12 x 6 / 5 - 5 8 x 4 / 5 ; 1 ≤ x ≤ 32

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre comprimentos de curvas.

Podemos determinar o comprimento da curva pedida utilizando:

L = ∫ x 1 x 2 1 + d y d x 2 d x

Para isso, vamos derivar y em relação a x:

d y d x = 5 12 ∙ 6 5 x 1 / 5 - 5 8 ∙ 4 5 x - 1 / 5 = 1 2 x 1 / 5 - 1 2 x - 1 / 5

De modo que:

d y d x 2 = 1 2 x 1 / 5 - 1 2 x - 1 / 5 2 = 1 4 x 2 / 5 - 2 + x - 2 / 5

Passo 2

Aplicando na equação do comprimento da curva, teremos que:

L = ∫ 1 32 1 + 1 4 x 2 / 5 - 2 + x - 2 / 5 d x = ∫ 1 32 1 4 x 2 / 5 + 2 + x - 2 / 5 d x =

= ∫ 1 32 1 4 x 1 / 5 + x - 1 / 5 2 d x

Logo:

L = ∫ 1 32 1 2 x 1 / 5 + x - 1 / 5 d x = ∫ 1 32 1 2 x 1 / 5 d x + ∫ 1 32 1 2 x - 1 / 5 d x = 5 x 6 / 5 12 + 5 x 4 / 5 8 | 1 32

Que nos dá:

L = 5 ∙ 32 6 / 5 12 + 5 ∙ 32 4 / 5 8 - 5 ∙ 1 6 / 5 12 + 5 ∙ 1 4 / 5 8 = 35,625   o u 285 8

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

35,625 ou 285/8

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