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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.5 - Ex. 27

Encontre os comprimentos das curvas nos exercícios 21-28.

A curva r = cos 3 ⁡ θ / 3 ,   0 ≤ θ ≤ π / 4 .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto, basta aplicarmos na formula do comprimento de uma curva polar:

L = ∫ α β r 2 + d r d θ 2 d θ

Vamos começar encontrando a derivada de r

d r d θ = d d θ cos 3 ⁡ θ 3 = - s e n θ 3 cos 2 ⁡ θ 3

Passo 2

Agora só aplicar na fórmula, já temos os limites, então bora:

L = ∫ 0 π / 4 cos 3 ⁡ θ 3 2 + - s e n θ 3 cos 2 ⁡ θ 3 2 d θ

L = ∫ 0 π / 4 cos 6 ⁡ θ 3 + s e n 2 θ 3 cos 4 ⁡ θ 3 d θ

L = ∫ 0 π / 4 cos 2 ⁡ θ 3 cos 2 ⁡ θ 3 + s e n 2 θ 3 d θ

Da relação fundamental da trigonometria s e n 2 θ 3 + cos 2 ⁡ θ 3 = 1

L = ∫ 0 π / 4 cos 2 ⁡ θ 3 1   d θ

Das relações trigonométricas 1 + cos ⁡ 2 θ 3 2 = cos 2 ⁡ θ 3

L = ∫ 0 π / 4 1 + cos ⁡ 2 θ 3 2 d θ

L = 1 2 ∫ 0 π 4 d θ + ∫ 0 π 4 cos ⁡ 2 θ 3 d θ

L = 1 2 θ + 3 2 s e n 2 θ 3 0 π 4

L = π 8 + 3 8

Bora pra próximo.

Resposta

L = π 8 + 3 8

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