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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.5 - Ex. 24

Encontre os comprimentos das curvas nos exercícios 21-28.

A curva r = a s e n 2 θ 2 ,   0 ≤ θ ≤ π ,   a > 0 .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto, basta aplicarmos na formula do comprimento de uma curva polar:

L = ∫ α β r 2 + d r d θ 2 d θ

Vamos começar encontrando a derivada de r

d r d θ = d d θ a s e n 2 θ 2 = a s e n θ 2 cos ⁡ θ 2

Passo 2

Agora só aplicar na fórmula, já temos os limites, então bora:

L = ∫ 0 π a s e n 2 θ 2 2 + a s e n θ 2 cos ⁡ θ 2 2 d θ

L = ∫ 0 π a 2 s e n 4 θ 2 + a 2 s e n 2 θ 2 cos 2 ⁡ θ 2   d θ

L = a ∫ 0 π s e n   θ 2 s e n 2 θ 2 + cos 2 ⁡ θ 2   d θ

Da relação fundamental da trigonometria s e n 2 θ 2 + cos 2 ⁡ θ 2 = 1

L = a ∫ 0 π s e n θ 2 1   d θ = a ∫ 0 π s e n θ 2   d θ

L = a - 2 c o s θ 2 0 π

L = 2 a

Bora pra próximo.

Resposta

L = 2 a

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