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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.5 - Ex. 15

Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 9-18

Dentro do círculo r = - 2 cos ⁡ θ e fora do circulo r = 1 .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto de aplicação, primeiro vamos encontrar a figura a partir do geogebra para entender do que se trata e delimitar os limites e depois, só precisamos botar na fórmula do calculo da área a partir da integral.

A = ∫ β α 1 2 ( r a 2 - r b 2 ) d θ

Essa é a nossa figura:

Temos 2 regiões distintas com limites diferentes, vamos calcula-los então:

r = r

- 2 cos ⁡ θ = 1

cos ⁡ θ = - 1 2

θ = 2 π 3

Portanto, 2 π / 3 é o nosso ponto de intersecção. Assim, os limites vão de 2 π 3 a π , ainda pela questão da simetria do eixo y temos que multiplicar a área por 2.

Passo 2

A = 2 ∫ 2 π / 3   π 1 2 - 2 cos ⁡ θ 2 - 1 2 d θ

A = ∫ 2 π / 3   π ( 4 cos 2 ⁡ θ - 1 ) d θ = ∫ 2 π / 3   π ( 2 1 + cos ⁡ 2 θ - 1 ) d θ

A = ∫ 2 π 3 π 1 + 2 cos ⁡ 2 θ d θ

A = ∫ 2 π / 3   π d θ + ∫ 2 π / 3   π 2 cos ⁡ 2 θ d θ

A = θ + s e n   2 θ 2 π / 3 π

A = π + 0 - 2 π 3 + 3 2

A = π 3 + 3 2

Bora para a próxima!

Resposta

A = π 3 + 3 2

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