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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.5 - Ex. 12

Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 9-18

Dividida pelas cardioides r = 2 ( 1 + cos ⁡ θ ) e r = 2 ( 1 - cos ⁡ θ ) .

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto de aplicação, primeiro vamos encontrar a figura a partir do geogebra para entender do que se trata e delimitar os limites e depois, só precisamos botar na fórmula do calculo da área a partir da integral.

A = ∫ β α 1 2 ( r 2 ) d θ

Essa é a nossa figura:

Temos 2 regiões distintas com limites diferentes, vamos calcula-los então:

r = r

2 1 - cos ⁡ θ = 2 1 + cos ⁡ θ

cos ⁡ θ = 0

θ = π 2

Portanto, π / 2 é o nosso ponto de intersecção. Assim, os limites vão de 0 a π 2 na parte de cima e de π 2 a π na parte de baixo, ainda pela questão da simetria temos que multiplicar as áreas por 2.

Passo 2

A = 2 ∫ 0 π / 2 1 2 2 1 - cos ⁡ θ 2 d θ + 2 ∫ π 2 π 1 2 2 1 + cos ⁡ θ 2 d θ

A = ∫ 0 π / 2 4 1 - 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ + ∫ π 2 π 1 + 2 cos ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ d θ

Abrindo o cos 2 ⁡ θ :

A = ∫ 0 π / 2 4 1 - 2 cos ⁡ θ + 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ + ∫ π 2 π 4 1 + 2 cos ⁡ θ + 1 + cos ⁡ 2 θ 2 d θ

A = ∫ 0 π / 2 6 - 8 cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ 2 θ d θ + ∫ π 2 π 6 + 8 cos ⁡ θ + 2 cos ⁡ 2 θ d θ

A = 6 θ - 8 s e n   θ + s e n   2 θ 0 π 2 + 6 θ + 8 s e n   θ + s e n   2 θ π 2 π

A = 3 π - 8 + 0 + 3 π - 8 + 0

A = 6 π - 16

Bora para a próxima!

Resposta

A = 6 π - 16

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