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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.5 - Ex. 3

Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 1-8

Dentro do limaçon oval r = 4 + 2 cos ⁡ θ

Passo 1

Fala gente tudo bem? Exercício super direto de aplicação, só precisamos botar na fórmula do calculo da área a partir da integral.

A = ∫ β α 1 2 r 2 d θ

Nossos limites do limaçon são de 0 a 2 π , portanto só substituir:

A = ∫ 0 2 π 1 2 ( 4 + 2 cos ⁡ θ ) 2 d θ = ∫ 0 2 π 1 2 16 + 16 cos ⁡ θ + 4 cos 2 ⁡ θ d θ

A = ∫ 0 2 π 8 d θ + ∫ 0 2 π 8 cos ⁡ θ d θ + ∫ 0 2 π 2 cos 2 ⁡ θ d θ

A = ∫ 0 2 π 8 d θ + ∫ 0 2 π 8 cos ⁡ θ d θ + ∫ 0 2 π 1 + cos ⁡ 2 θ d θ

A = ∫ 0 2 π 9 d θ + ∫ 0 2 π 8 cos ⁡ θ d θ + ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 θ d θ

A = 9 θ + 8 s e n   θ + 1 2 s e n   2 θ 0 2 π

A = 9 ⋅ 2 π + 0 + 0 = 18 π

Bora para mais uma.

Resposta

A = 18 π

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