Se g x = x / e x , encontre g n x

Enunciado

Nessa questão nos é dada a seguinte função:

Queremos encontrar a sua n-ésima derivada.

Para isso, vamos tentar deriva-la algumas vezes e ver se encontramos algum tipo de padrão.

Essa é uma função que é composta pela divisão de duas funções, logo usaremos a regra do quociente para derivá-la.

Bora lá!

Vamos calcular a primeira, segunda e terceira derivada de e assim vermos qual a lei de formação do cálculo da derivada de .

Usando a Regra da Derivada do Quociente obtemos a derivada de 1ª ordem:

Colocando em evidência, podere-mos anulá-lo.

é a derivada de 2ª ordem. é a derivada de , assim, iremos derivar a derivada, onde também aplicaremos uma regra do quociente:

E novamente, colocando em evidência, poderemos anula-lo:

é a derivada de 3ª ordem. é a derivada de , assim, aplicando mais uma regra do quociente, obtemos:

E anulando o , obtemos:

Listando as derivadas que encontramos até agora, temos:

E assim por diante... Perceba que o denominador sempre é

E o numerador é

Ou seja, o número que está com o vai aumentando com .

Se escrevermos o numerador como sendo

Nós temos os resultados das derivadas de ordem par. Para as de ordem ímpar esse termo é multiplicado por :

Dessa forma, podemos dizer que o numerador é dado por:

Assim na ordem ímpar obtemos e na ordem par obtermos .

Logo, temos que a derivada de de nª ordem é dada por :