Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.2 - Ex. 42
Se , encontre
Passo 1
Nessa questão nos é dada a seguinte função:
Queremos encontrar a sua n-ésima derivada.
Para isso, vamos tentar deriva-la algumas vezes e ver se encontramos algum tipo de padrão.
Essa é uma função que é composta pela divisão de duas funções, logo usaremos a regra do quociente para derivá-la.
Bora lá!
Passo 2
Vamos calcular a primeira, segunda e terceira derivada de e assim vermos qual a lei de formação do cálculo da derivada de .
Usando a Regra da Derivada do Quociente obtemos a derivada de 1ª ordem:
Colocando em evidência, podere-mos anulá-lo.
Passo 3
é a derivada de 2ª ordem. é a derivada de , assim, iremos derivar a derivada, onde também aplicaremos uma regra do quociente:
E novamente, colocando em evidência, poderemos anula-lo:
Passo 4
é a derivada de 3ª ordem. é a derivada de , assim, aplicando mais uma regra do quociente, obtemos:
E anulando o , obtemos:
Listando as derivadas que encontramos até agora, temos:
E assim por diante... Perceba que o denominador sempre é
E o numerador é
Ou seja, o número que está com o vai aumentando com .
Se escrevermos o numerador como sendo
Nós temos os resultados das derivadas de ordem par. Para as de ordem ímpar esse termo é multiplicado por :
Dessa forma, podemos dizer que o numerador é dado por:
Assim na ordem ímpar obtemos e na ordem par obtermos .
Logo, temos que a derivada de de nª ordem é dada por :