Encontre a fórmula para f(n)(x) .

f(x) = x^n

Passo 1

Fala aí! como vai?

Nesse problema foi dada a função

f x = x n

E nosso objetivo é obter uma formula para a n-esima derivada de f .

Parece complicado?

A função f é uma função relativamente simples e sua derivada é obtida a partir da regra da potencia.

f x = x a ,     f ' x = a x a - 1

Então o que podemos fazer é aplicar a derivada varias vezes e tentar encontrar uma relação de recorrência para determinar uma fórmula de n derivadas.

Sacou? Bora começar!

Passo 2

Como ele quer a n-ésima derivada a gente tem que ir derivando e tentar enxergar um padrão que vai se repetindo:

Calculando a primeira derivada...

f ' x = n ⋅ x n - 1

Se a gente derivar mais uma vez:

f ' ' x = n n - 1 ⋅ x n - 2

E denovo:

f ' ' ' x = n n - 1 n - 2 ⋅ x n - 3

E cada vez que a gente derivar um numero menor que anterior vai descer multiplicando:

f ( k ) x = n n - 1 n - 2 ⋅ ⋅ ⋅ n - ( k - 1 ) ⋅ x n - k

no limite, quando chegarmos até a n-ésima derivada o expoente de x já vai ser 0, ou seja não vai mais ter o x , mas todos os números de 1 até n vão estar multiplicando, então:

f ( n ) x = n n - 1 n - 2 ⋅ ⋅ ⋅ 2 1 ⋅ x n - n

f n x = n n - 1 n - 2 ⋅ ⋅ ⋅ 2 1

Essa é a expressão do fatorial de n , não é?

f n x = n !

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

f n x = n !

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