Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 33
Encontre a fórmula para .
Passo 1
Fala aí! como vai?
Nesse problema foi dada a função
E nosso objetivo é obter uma formula para a n-esima derivada de .
Parece complicado?
A função é uma função relativamente simples e sua derivada é obtida a partir da regra da potencia.
Então o que podemos fazer é aplicar a derivada varias vezes e tentar encontrar uma relação de recorrência para determinar uma fórmula de derivadas.
Sacou? Bora começar!
Passo 2
Como ele quer a n-ésima derivada a gente tem que ir derivando e tentar enxergar um padrão que vai se repetindo:
Calculando a primeira derivada...
Se a gente derivar mais uma vez:
E denovo:
E cada vez que a gente derivar um numero menor que anterior vai descer multiplicando:
no limite, quando chegarmos até a n-ésima derivada o expoente de já vai ser 0, ou seja não vai mais ter o , mas todos os números de 1 até vão estar multiplicando, então:
Essa é a expressão do fatorial de , não é?
É isso! O que achou? Responde Aí!