Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 48
Encontre e
48)
Passo 1
Falaee, belezinha?? Bom... a questão quer que derivemos a seguinte função:
Perceba que aqui podemos interpretar como uma função dentro de outra... veja que a gente pode fazer da seguinte forma:
Onde
Certinho até aí??
Nesse sentido, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra.
E o que fazemos quando isso acontece?
Usamos a Regra da Cadeia! Que é dada da seguinte forma:
Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.
Depois que calcularmos a derivada, a questão pede para derivarmos novamente para encontrar a segunda derivada.
Passo 2
Para podermos aplicar a Regra da Cadeia, vamos começar pela derivada .
Então vamos derivar com relação à :
Agora vamos derivar em função de para achar
Agora aplicando da Regra da Cadeia, temos:
Substituindo u:
Sendo assim:
Passo 3
Agora temos a derivada primeira, e devemos derivá-la para obter a segunda.
Aqui temos uma multiplicação, então:
Derivando:
Passo 4
Para realizar a derivada da multiplicação, temos que utilizar a Regra do Produto.
Seja e duas funções deriváveis, então a derivada do produto entre essas duas funções é dada por:
Aplicando a Regra do Produto:
Reorganizando: