Encontre y ' e y^(' ') : 48) y = cos ² ( x ) ²

y ' = - 2 . cos ( x ) . s e n ( x ) y^(' ') = - 2 cos^2 (x) + 2 s e n ² (x) ²

Enunciado

Falaee, belezinha?? Bom... a questão quer que derivemos a seguinte função:

Perceba que aqui podemos interpretar como uma função dentro de outra... veja que a gente pode fazer da seguinte forma:

Onde

Certinho até aí??

Nesse sentido, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra.

E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia! Que é dada da seguinte forma:

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Depois que calcularmos a derivada, a questão pede para derivarmos novamente para encontrar a segunda derivada.

Para podermos aplicar a Regra da Cadeia, vamos começar pela derivada .

Então vamos derivar com relação à :

Agora vamos derivar em função de para achar

Agora aplicando da Regra da Cadeia, temos:

Substituindo u:

Sendo assim:

Agora temos a derivada primeira, e devemos derivá-la para obter a segunda.

Aqui temos uma multiplicação, então:

Derivando:

Para realizar a derivada da multiplicação, temos que utilizar a Regra do Produto.

Seja e duas funções deriváveis, então a derivada do produto entre essas duas funções é dada por:

Aplicando a Regra do Produto:

Reorganizando: