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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 31

Encontre a derivada da função

31) y = s e n ( t g 2 x )

Passo 1

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra. E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia! Para começar vamos chamar:

u = t g 2 x

Então:

y = s e n u

Muito bem, já achamos u e y, em função de u. Agora precisamos achar (d y)/(d x) , mas como?

Bem fácil:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por (d u)/(d x) . Então vamos derivar u com relação à x, mas aqui nós temos outra função dentro da tangente. Então usaremos novamente a Regra da Cadeia:

t = 2 x

E:

u = t g t

Então:

(d u)/(d x) = (d u)/(d t) . (d t)/(d x)

Vamos começar:

(d u)/(d t) = s e c ² t

Substituindo t:

(d u)/(d t) = s e c ² ( 2 x )

Próxima derivada:

(d t)/(d x) = 2

Agoora sim:

(d u)/(d x) = 2 s e c ² ( 2 x )

Passo 3

Já achamos uma das derivadas, então precisamos só achar (d y)/(d u) :

(d y)/(d u) = cos u

Substituindo u:

(d y)/(d x) = 2 s e c ² (2 x) . cos ( t g 2 x )

Resposta

y ' = 2 s e c ² (2 x) . cos ( t g 2 x )

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