Encontre a derivada da função

36) y = sqrt(1 + x e^(- 2 x))

Passo 1

Muito bem, para derivar nós precisamos observar que existe uma função dentro da outra. E o que fazemos quando isso acontece?

Usamos a Regra da Cadeia! Para começar vamos chamar:

u = 1 + x e^(- 2 x)

Então:

y = sqrt(u)

Muito bem, já achamos u e y, em função de u. Agora precisamos achar (d y)/(d x) , mas como?

Bem fácil:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) . (d u)/(d x)

Já sabemos como achar a derivada, então vamos achar cada derivada separadamente.

Passo 2

Vamos começar por (d u)/(d x) . Então vamos derivar u com relação à x, mas fiquem atentos aqui nós temos uma multiplicação.

Nestes casos usamos a regra do produto, faremos uma nova substituição aqui:

f (x) = x

g (x) = e^(- 2 x)

A derivada de f é bem simples:

f^' (x) = 1

Agora para g nós temos uma função dentro de outra, bora usar de novo a regra da cadeia. Como vocês já estão feras eu vou fazer direto:

g^' (x) = - 2 e^(- 2 x)

Agora conseguimos obter a derivada que precisamos:

(d u)/(d x) = - 2 x e^(- 2 x) + e^(- 2 x) = e^(- 2 x) ( 1 - 2 x )

Passo 3

Agora vamos derivar y em função de u para achar (d y)/(d u) :

(d y)/(d u) = (1)/(2) u^(- (1)/(2)) = (1)/(2 u^((1)/(2)))

Substituindo u:

(d y)/(d u) = (1)/(2 (1 + x e^(- 2 x))^((1)/(2)))

Agora vamos colocar na derivada (d y)/(d x) do passo 1:

(d y)/(d x) = (1)/(2 (1 + x e^(- 2 x))^((1)/(2))) xx e^(- 2 x) ( 1 - 2 x )

Então:

(d y)/(d x) = (e^(- 2 x) ( 1 - 2 x ))/(2 (1 + x e^(- 2 x))^((1)/(2)))

Resposta

y^' = (e^(- 2 x) ( 1 - 2 x ))/(2 (1 + x e^(- 2 x))^((1)/(2)))

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