Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 47
Mostre, usando a derivação implícita, que qualquer reta tangente, em um ponto , a um círculo com centro é perpendicular ao raio .
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que que qualquer reta tangente em um ponto qualquer de um círculo é perpendicular ao raio , que liga o centro ao ponto .
Para isso, precisamos utilizar a derivação implícita para derivar a equação da circunferência:
Dessa forma, vamos encontrar , que é o coeficiente angular da reta tangente ao círculo. Então, vamos isolar e comparar com o coeficiente angular do raio . Se um coeficiente angular for a recíproca negativa do outro, então poderemos dizer que as retas são perpendiculares.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando implicitamente a equação do círculo :
Lembrando que é o raio do círculo, que é uma constante, por isso sua derivada é zero.
é o coeficiente angular da reta tangente ao círculo. Então, isolando , temos
Sendo assim, o coeficiente angular da reta no ponto é:
Passo 3
Agora vamos encontrar o coeficiente angular do raio do círculo (), utilizando a seguinte fórmula:
Para o ponto e com círculo centrado na origem, , temos:
Que é a recíproca negativa do coeficiente angular da reta tangente ao círculo. Em outras palavras, a inclinação da reta tangente e do raio é a mesma. Dessa forma, o raio e a reta tangente são perpendiculares.
Como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉