Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 46
Mostre que a soma das coordenadas das intersecções com os eixos e de qualquer reta tangente à curva é igual a .
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente mostrar que a soma das coordenadas das interseções com os eixos e de qualquer reta tangente à curva é igual a .
Para isso, precisamos lembrar que a equação de uma reta tangente em um ponto é dada por:
Onde o coeficiente angular da reta é a derivada . E como a nossa equação é tem o implícito, isso significa que vamos ter que usar a derivação implícita.
Assim, encontrada a equação da reta tangente, vamos encontrar a interseção com os eixos fazendo e na equação. Então, somamos as duas expressões e verificamos se o resultado é igual a .
Vamos lá!
Passo 2
Primeiramente, vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação:
Então, derivando implicitamente em relação a , temos:
Agora, queremos isolar , que é o coeficiente angular da reta tangente. Isolando, temos:
Passo 3
Agora substituindo na equação da reta, vamos ter:
Então, no ponto , temos a seguinte expressão:
Passo 4
Para encontrar a intersecção dos eixos, iremos igualar e na expressão anterior.
Para, temos:
E para , temos:
Somando as duas intersecções, vamos ter a seguinte expressão:
Veja que a expressão encontrada é a expansão de um quadrado perfeito na forma:
Mas sabemos do enunciado que:
Então, substituindo na equação, temos:
Como queríamos demonstrar.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉