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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 7

7. Encontre d y // d x por derivação implícita.

x^4 + x^2 y^2 - y^3 = 5

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos y ' por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação em relação a x :

(d)/(d x) ( x^4 + x^2 y^2 - y^3 ) = (d)/(d x) ( 5 )

Como a derivada da constante é zero, ficamos com:

(d)/(d x) (x^4 + x^2 y^2 - y^3) = 0

Deveremos também aplicar a regra da cadeia y^2 e y^3 e a regra do produto no produto x^2 y^2 nessa equação:

A regra do produto é dada por :

(d)/(d x) (u v) = u v^' + u^' v

Já a regra da cadeia:

Se y = f (g (x)) e u = g ( x ) , então y = f ( y ) e

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Passo 2

Isso nos deixa com a equação:

(d)/(d x) (x^4) + (d ( x^2 y^2 ))/(d x) + (d ( y^3 ))/(d x) = 0

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:

4 x^(4 - 1) + (d)/(d x) (x^2) * y^2 + x^2 * (d (y^2))/(d x) + (d (y^3))/(d y) * (d y)/(d x) = 0

Aplicando novamente a regra da cadeia:

4 x^3 + 2 x^(2 - 1) * y^2 + x^2 * (d (y^2))/(d y) * (d y)/(d x) + 3 y^(3 - 1) * (d y)/(d x) = 0

4 x^3 + 2 x * y^2 + x^2 * 2 y * (d y)/(d x) + 3 y^2 * (d y)/(d x) = 0

(4 x^3 + 2 x y^2) + (2 x^2 y + 3 y^2) * (d y)/(d x) = 0

Subtraindo 4 x^2 + 2 x y^2 de ambos os lados:

(2 x^2 y + 3 y^2) * (d y)/(d x) = - 4 x^3 - 2 x y^2

Isolando y ' :

(d y)/(d x) = (- 4 x^2 - 2 x y^2)/(2 x^2 y + 3 y^2)

Resposta

(d y)/(d x) = (- 4 x^2 - 2 x y^2)/(2 x^2 y + 3 y^2)

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