Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.5 - Ex. 17
Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... A questão pede para usarmos a roteiro apresentado na seção do livro para fazer um esboço da curva.
Para iniciar a questão vamos relembrar um pouco da teoria:
Domínio: Conjunto de todos os valores de para os quais a função é definida.
Interseções com os Eixos:
- Eixo : Onde
- Eixo : Onde ou seja,
Simetria:
- Função Par:
- Função Ímpar:
Assíntotas:
- Assíntotas Verticais: Linhas verticais onde a função cresce sem limites.
- Assíntotas Horizontais: Linhas horizontais que a função se aproxima conforme
Derivadas e Comportamento da Função:
- Primeira Derivada Para determinar onde a função é crescente ou decrescente.
- Segunda Derivada Para determinar a concavidade e pontos de inflexão.
Os intervalos nos quais uma função é crescente (ou decrescente) correspondem aos intervalos nos quais sua derivada é positiva (ou negativa). Então, se quisermos encontrar os intervalos em que uma função é crescente ou decrescente, nós calculamos sua derivada e descobrimos onde ela é positiva ou negativa (o que é mais fácil!).
Concavidade e Pontos de Inflexão:
- Concavidade para cima:
- Concavidade para baixo:
- Pontos de Inflexão: Onde e muda de sinal.
Bora lá!! 😉
Passo 2
Domínio da função: Determine o domínio da função. No denominador a expressão não pode ser igual a zero.
Isso significa que o domínio é todos os números reais exceto
Passo 3
Interseções com os eixos: Encontre as interseções da função com os eixos .
Para encontrar a interseção com o eixo , basta substituir na equação da função:
Como a divisão por zero não é definida, não há interseção com o eixo .
Para encontrar as interseções com o eixo , igualamos a zero e resolvemos para
Isso ocorre quando .
Passo 4
Simetrias: Verifique se a função possui alguma simetria.
A função não é simétrica em relação ao eixo , pois substituir xxx por na função altera seu valor.
Passo 5
Para as assíntotas horizontais, tomamos os limites no infinito:
Assim, tanto para como para , o eixo é assíntota horizontal para a função.
Como não está no domínio da função, temos que verificar se essa reta é assíntota vertical. De fato,
Assim, a reta é assíntota vertical da função.
Passo 6
Para os intervalos de crescimento e decrescimento, vamos derivar a função:
O sinal de será:
Assim, o ponto é ponto de mínimo local e o ponto é máximo local.
Passo 7
No estudo da concavidade, precisamos de :
Como , segue que o sinal de vai depender apenas de :
O ponto será ponto de inflexão.
Resposta
O esboço da curva:
