Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.6 - Ex. 4
- Encontre diferenciando implicitamente.
- Resolva a equação explicitamente para y e diferencie para obter y’ em termos de x.
- Verifique se suas soluções para as partes (a) e (b) são consistentes substituindo a expressão para y em sua solução para a parte (a).
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão dá pra gente a expressão
E pede pra gente encontrar de dois modos diferentes.
No item a) teremos que fazer isso diferenciando implicitamente essa expressão.
Para isso, devemos derivar os dois lados da equação em relação a tratando como sendo uma função de .
Já no item b) precisaremos isolar e depois diferenciar a expressão.
E no item c) devemos comparar as duas resoluções.
Vamos responder a cada um dos item pedidos no passa a passo. Vem que te mostro tudinho!
Passo 2
(a) Temos a função:
E precisamos calcular usando derivação implícita!
Para derivar implicitamente vamos aplicar a deriada dos dois lados da equação. Assim:
E podemos aplicar a derivada a cada termo da equação, ficando com:
Podemos reescrever essas raízes como expoente fracionários usando essa regrinha aqui:
Assim, nossa expressão se torna:
Agora vamos aplicar a derivação em cada um dos termos:
Para
Basta usar e regra do expoente,
E invertendo a potência de expoente negativo, temos:
Agora para
Podemos fazer algo parecido, porém temos que lembrar que é uma função de , sendo assim, usamos a regra da cadeia, multiplicando a derivada da função de fora pela derivada da função de dentro que é o próprio . Dessa forma:
E para
Devemos lembrar que a derivada de uma constante é sempre igual a zero.
Assim
E ficamos com:
Agora basta isolar . Assim:
Simplificando, ficamos com:
E prontinho, derivada calculada implicitamente.
Passo 3
(b)
Aqui a gente vai precisar isolar o primeiro e depois derivar a função:
Passar a raiz de para o lado esquerdo, temos
E passando a raiz em forma de quadrado, temos:
Agora é só derivar utilizando a regra da cadeia:
Passo 4
(c)
Agora vamos igualar as duas equações e isolar o . Com isso precisamos obter o valor da função que tínhamos no inicio:
Como obtemos a mesma equação do inicio está tudo certo com as contas das derivadas. E com isso tá tudo prontinho!