Encontre dy/dx por derivação implícita.

x^3 + x arctg y = e^y

Passo 1

Falaaa aí, nessa questão pode ajudar inicialmente a gente derivar cada termo da expressão pra gente não se confundir. Se fizermos isso fica assim?

( x 3 ) '   =   3 x 2    

Pro segundo termo vamos usar a regra da derivada do produto:

x   a r c   t g   y ' = x ' a r c   t g   y + ( x )   ( a r c   t g   y ) '

x   a r c   t g   y ' = a r c   t g   y + x   ( a r c   t g   y ) '

Passo 2

Pro segundo termo vamos usar a regra da derivada do produto:

x   a r c   t g   y ' = x ' a r c   t g   y + ( x )   ( a r c   t g   y ) '

x   a r c   t g   y ' = a r c   t g   y + x   ( a r c   t g   y ) '

Mas aí precisamos lembrar a derivada implícita do a r c   t g   y

a r c   t g   y ' =   1 1 + y 2       d y d x

Então voltando na outra equação, vai ficar assim:

x   a r c   t g   y ' = a r c   t g   y + x   1 1 + y 2     d y d x

Opaaa, já apareceu o d y / d x que a gente está querendo

Passo 3

O último termo da nossa expressão quando derivado implicitamente fica assim:

e y ' =   e y   d y d x

Passo 4

Agora vamos juntar tudo o que fizemos? Derivando esse carinha aqui:

x 3 + x   a r c   t g   y = e y

Chegamos nesse aqui:

3 x 2 + a r c   t g   y + x   1 1 + y 2     d y d x =   e y   d y d x

E aí precisamos isolar o   d y / d x

3 x 2   + a r c   t g   y   =   e y   d y d x - x   1 1 + y 2     d y d x

3 x 2   + a r c   t g   y   = d y d x ( e y - x   1 1 + y 2   )

3 x 2   + a r c   t g   y   = d y d x ( e y ( 1 + y 2 ) -   x   1 + y 2 )

d y d x =   ( 1 + y 2 ) ( 3 x 2   + a r c   t g   y ) ( e y ( 1 + y 2 ) -   x )

Resposta

d y d x =   ( 1 + y 2 ) ( 3 x 2   + a r c   t g   y ) ( e y ( 1 + y 2 ) -   x )

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