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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 65

Encontre d y // d x por derivação implícita.

x^3 + x a r c t g y = e^y

Passo 1

Falaaa aí, nessa questão pode ajudar inicialmente a gente derivar cada termo da expressão pra gente não se confundir. Se fizermos isso fica assim?

( x^3 ) ' = 3 x^2

Pro segundo termo vamos usar a regra da derivada do produto:

(x a r c t g y) ' = (x)^' (a r c t g y) + ( x ) ( a r c t g y ) '

(x a r c t g y) ' = (a r c t g y) + x ( a r c t g y ) '

Passo 2

Pro segundo termo vamos usar a regra da derivada do produto:

(x a r c t g y) ' = (x)^' (a r c t g y) + ( x ) ( a r c t g y ) '

(x a r c t g y) ' = (a r c t g y) + x ( a r c t g y ) '

Mas aí precisamos lembrar a derivada implícita do a r c t g y

(a r c t g y)^' = (1)/(1 + y^2) (d y)/(d x)

Então voltando na outra equação, vai ficar assim:

(x a r c t g y)^' = (a r c t g y) + x (1)/(1 + y^2) (d y)/(d x)

Opaaa, já apareceu o d y // d x que a gente está querendo

Passo 3

O último termo da nossa expressão quando derivado implicitamente fica assim:

(e^y)^' = e^y (d y)/(d x)

Passo 4

Agora vamos juntar tudo o que fizemos? Derivando esse carinha aqui:

x^3 + x a r c t g y = e^y

Chegamos nesse aqui:

3 x^2 + (a r c t g y) + x (1)/(1 + y^2) (d y)/(d x) = e^y (d y)/(d x)

E aí precisamos isolar o d y // d x

3 x^2 + (a r c t g y) = e^y (d y)/(d x) - x (1)/(1 + y^2) (d y)/(d x)

3 x^2 + (a r c t g y) = (d y)/(d x) ( e^y - x (1)/(1 + y^2) )

3 x^2 + (a r c t g y) = (d y)/(d x) ( (e^y ( 1 + y^2 ) - x)/(1 + y^2) )

(d y)/(d x) = (( 1 + y^2 ) ( 3 x^2 + (a r c t g y) ))/(( e^y ( 1 + y^2 ) - x ))

Resposta

(d y)/(d x) = (( 1 + y^2 ) ( 3 x^2 + (a r c t g y) ))/(( e^y ( 1 + y^2 ) - x ))

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