Encontre dy/dx

y = arc cotg(raiz(x))

Passo 1

Falaaa aí, a primeira coisa que precisamos perceber é se y = a r c   c o t g ( x )

Então

cot ⁡ ( y ) ⁡ =   x

Beleza, mas o que a gente faz com isso?

Passo 2

Já que ele pede a derivada, vamos derivar implicitamente a nossa expressão:

cot ⁡ ' y ⁡ =   ( x ) '

Como a derivada de cot ⁡ u é - csc 2 ⁡ ( u ) .   u '

-     csc 2 ⁡ y . y ' = 1 2 x

Mas y ' nada mais é do que d y / d x . Então a gente pode reescrever assim:

-   csc 2 ⁡ y   d y d x = 1 2 x

Agora podemos isolar o d y / d x

  d y d x = - 1     2 x   csc 2 ⁡ y

Passo 3

Peraaa mas a gente não sabe quanto vale   csc 2 ⁡ y . Porém umas das formas da gente escrever a Relação Fundamental da Trigonometria é assim:

cot 2 ⁡ y + 1 = csc 2 ⁡ y

Lembra? E como a gente viu ali em cima

cot ⁡ ( y ) ⁡ =   x

Vamos ter que:

csc 2 ⁡ y = 1 + x

Passo 4

Substituindo então esse valor de csc 2 ⁡ y na expressão de d y / d x que tínhamos encontrado, a gente já chega no que o enunciado pediu:

d y d x = - 1     2 x  ⁡ ( 1 + x )

Resposta

d y d x = - 1     2 x ⁡ ( 1 + x )

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados