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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 57

Encontre d y // d x

y = a r c c o t g ( sqrt(x) )

Passo 1

Falaaa aí, a primeira coisa que precisamos perceber é se y = a r c c o t g ( sqrt(x) )

Então

cot ( y ) = sqrt(x)

Beleza, mas o que a gente faz com isso?

Passo 2

Já que ele pede a derivada, vamos derivar implicitamente a nossa expressão:

cot ' (y) = ( sqrt(x) ) '

Como a derivada de cot (u) é - csc^2 ( u ) . u '

- csc^2 (y) . y ' = (1)/(2 sqrt(x))

Mas y^' nada mais é do que d y // d x . Então a gente pode reescrever assim:

- csc^2 (y) (d y)/(d x) = (1)/(2 sqrt(x))

Agora podemos isolar o d y // d x

(d y)/(d x) = (- 1)/(2 sqrt(x) csc^2 (y))

Passo 3

Peraaa mas a gente não sabe quanto vale csc^2 (y) . Porém umas das formas da gente escrever a Relação Fundamental da Trigonometria é assim:

cot^2 y + 1 = csc^2 y

Lembra? E como a gente viu ali em cima

cot ( y ) = sqrt(x)

Vamos ter que:

csc^2 y = 1 + x

Passo 4

Substituindo então esse valor de csc^2 y na expressão de d y // d x que tínhamos encontrado, a gente já chega no que o enunciado pediu:

(d y)/(d x) = (- 1)/(2 sqrt(x) ( 1 + x ))

Resposta

(d y)/(d x) = (- 1)/(2 sqrt(x) ( 1 + x ))

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