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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.13 - Ex. 3

A função y = f x é dada implicitamente pela equação x y + 3 = 2 x . Mostre que x d y d x = 2 - y . Calcule d y d x x = 2 .

Passo 1

Humm beleza, aqui temos que usar derivada implícita...

Então vamos derivar os dois lados da nossa expressão em relação a x ok?

x y + 3 = 2 x

d d x x y + 3 = d d x 2 x

d d x x y + d d x 3 = d d x 2 x

Temos, pela regra do produto, que

d d x x y = d x d x * y + x * d y d x

d d x x y = 1 * y + x * d y d x

Também temos d d x 3 = 0 e d d x 2 x = 2

Substituindo:

d d x x y + d d x 3 = d d x 2 x

y + x * d y d x + 0 = 2

Passando o y para o outro lado

x d y d x = 2 - y

E ta provado :)

Passo 2

Da equação que acabamos de mostrar, obtemos a expressão da derivada:

d y d x = 2 - y x

Queremos o valor dessa derivada quando x = 2 , então também precisamos calcular y para x = 2 .

Pra começar, vamos voltar na equação inicial (aquela dada pelo enunciado) e calcular quanto vale y quando x = 2 :

x y + 3 = 2 x

2 y + 3 = 2 2

y = 1 2

Agora, é só substituir esse valor de y na expressão d y d x = 2 - y x

d y d x x = 2 = 2 - y x = 2 - 1 2 2

d y d x x = 2 = 3 4

Resposta

d y d x x = 2 = 3 4

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