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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 66

Encontre d y // d x por derivação implícita.

a r c s e n (x y) = a r c cos ( x - y )

Passo 1

Nessa questão vamos com bastante calma derivar um lado de cada vez, começando pelo lado esquerdo.

Mas antes precisamos lembrar desse resultado superimportante de derivações implícitas:

(a r c s e n u)^' = (1)/(sqrt(1 - u^2)) (d u)/(d x)

Então se derivarmos usando a regra da cadeia vamos ficar com:

(a r c s e n x y)^' = (1)/(sqrt(1 - (x y)^2)) (d ( x y ))/(d x)

Opa, parece então que a gente caiu numa regra do produto com derivada implícita, mas fica calmo que vai dar tudo certo hehe

(a r c s e n x y)^' = (1)/(sqrt(1 - (x y)^2)) ( (d x)/(d x) y + x (d y)/(d x) )

Passo 2

Agora vamos partir pro lado direito. Masss antes vamos também lembrar de um resultado maneiro que diz isso aqui:

(a r c c o s u)^' = (- 1)/(sqrt(1 - u^2)) (d u)/(d x)

Então se a gente derivar a r c cos ( x - y ) usando a regra da cadeia vamos ficar com:

(a r c c o s ( x - y ))^' = (- 1)/(sqrt(1 - ( x - y )^2)) (d ( x - y ))/(d x)

(a r c c o s ( x - y ))^' = (- 1)/(sqrt(1 - ( x - y )^2)) ( (d x)/(d x) - (d y)/(d x) )

Passo 3

Agora partiu igualar isso que a gente encontrou?

(1)/(sqrt(1 - (x y)^2)) ((d x)/(d x) y + x (d y)/(d x)) = (- 1)/(sqrt(1 - ( x - y )^2)) ( (d x)/(d x) - (d y)/(d x) )

Podemos falar que (d x)/(d x) = 1 , e aí só vai faltar a gente isolar o (d y)/(d x)

(1)/(sqrt(1 - (x y)^2)) (y + x (d y)/(d x)) = (- 1)/(sqrt(1 - ( x - y )^2)) ( 1 - (d y)/(d x) )

(y)/(sqrt(1 - (x y)^2)) + (1)/(sqrt(1 - ( x - y )^2)) = (d y)/(d x) ( (1)/(sqrt(1 - (x - y)^2)) - (x)/(sqrt(1 - (x y)^2)) )

(d y)/(d x) = (y sqrt(1 - ( x - y )^2) + sqrt(1 - (x y)^2))/(sqrt(1 - (x y)^2) - x sqrt(1 - ( x - y )^2))

Resposta

(d y)/(d x) = (y sqrt(1 - ( x - y )^2) + sqrt(1 - (x y)^2))/(sqrt(1 - (x y)^2) - x sqrt(1 - ( x - y )^2))

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