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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 17

Ache (d y)/(d x) por derivação implícita

Passo 1

Queremos encontrar (d y)/(d x) isolado:

Vamos derivar os dois lados em função de x:

(d)/(d x) ( e^x + e^y ) = (d)/(d x) ( e^(x + y) )

Nesse momento, calculamos todas as derivadas em função de x diretamente e as derivadas em função de y nós derivamos para y adicionando, no fim, um y^' que nada mais é que o (d y)/(d x) :

Passo 2

Para o primeiro termo:

(d)/(d x) ( e^x + e^y )

= e^x + e^y y '

Para o segundo termo da equação:

(d)/(d x) ( e^(x + y) )

Vamos usar a regra da cadeia:

f = e^u

u = x + y

(d)/(d u) ( e^u ) = e^u

(d)/(d x) ( x + y ) = 1 + y '

Passo 3

Aplicando então a regra da cadeia:

= e^u ( 1 + (d)/(d x) ( y ) )

Substituindo u:

= e^(x + y) (1 + (d)/(d x) (y))

Passo 4

Assim, igualando os dois termos:

e^x + e^y y ' = e^(x + y) ( 1 + y^' )

Isolando y’

e^x + e^y y ' = e^(x + y) + e^(x + y) y^'

e^y y^' = e^(x + y) + e^(x + y) y^' - e^x

e^y y^' - e^(x + y) y^' = e^(x + y) - e^x

e^y y^' ( 1 - e^x ) = e^(x + y) - e^x

y^' = (e^(x + y) - e^x)/(e^y ( 1 - e^x ))

y^' = (e^x ( e^y - 1 ))/(e^y ( 1 - e^x ))

y^' = (e^(x - y) ( e^y - 1 ))/(( 1 - e^x ))

Resposta

(d y)/(d x) = (e^(x - y) ( e^y - 1 ))/(( 1 - e^x ))

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