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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 7.5 - Ex. 18

Ache (d y)/(d x) por derivação implícita

Passo 1

Queremos encontrar (d y)/(d x) isolado:

Vamos derivar os dois lados em função de x:

(d)/(d x) ( e^y ) = (d)/(d x) ( l n ( x^3 + 3 y ) )

Nesse momento, calculamos todas as derivadas em função de x diretamente e as derivadas em função de y nós derivamos para y adicionando, no fim, um y^' que nada mais é que o (d y)/(d x) :

Passo 2

Para o primeiro termo:

(d)/(d x) (e^y) = e^y y '

Para o segundo termo da equação:

(d)/(d x) (ln (x^3 + 3 y))

Passo 3

Vamos usar a regra da cadeia:

f = l n ( u )

u = x^3 + 3 y

(d)/(d u) (ln (u)) = (1)/(u)

(d)/(d x) ( x^3 + 3 y ) = 3 x^2 + 3 y '

Aplicando a regra da cadeia:

= (1)/(u) ( 3 x^2 + 3 (d)/(d x) ( y ) )

Substituindo u:

= (1)/(x^3 + 3 y) (3 x^2 + 3 y^')

Passo 4

Assim, igualando os dois termos:

e^y y ' = (3 x^2 + 3 y ')/(x^3 + 3 y)

Isolando y’

y ' = (3 x^2 + 3 y ')/(e^y ( x^3 + 3 y ))

y^' = (3 x^2)/(e^y (x^3 + 3 y)) + (3 y^')/(e^y (x^3 + 3 y))

y^' - (3 y^')/(e^y (x^3 + 3 y)) = (3 x^2)/(e^y (x^3 + 3 y))

(e^y (x^3 + 3 y) y^' - 3 y^')/(e^y (x^3 + 3 y)) = (3 x^2)/(e^y (x^3 + 3 y))

y^' (e^y (x^3 + 3 y) - 3)/(e^y (x^3 + 3 y)) = (3 x^2)/(e^y (x^3 + 3 y))

y^' = (3 x^2)/(e^y (x^3 + 3 y) - 3)

Resposta

(d y)/(d x) = (3 x^2)/(e^y (x^3 + 3 y) - 3)

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