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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 14

Encontre (d^2 y)/(d x^2) por derivação implícita.

x^3 + y^3 = 1

Passo 1

Primeiro vamos usar derivação implícita, nós temos que derivar ambos os lados, tratando y como uma função diferenciável de x , vamos lá:

(d)/(d x) (x^3 + y^3) = (d)/(d x) (1)

3 x^(3 - 1) + 3 y^(3 - 1) (d y)/(d x) = 0

3 x^2 + 3 y^2 (d y)/(d x) = 0

Passo 2

Agora vamos reorganizar, vamos deixar o (d y)/(d x) no lado esquerdo, e passar todo o resto pro lado direito:

3 x^2 + 3 y^2 (d y)/(d x) = 0

3 y^2 (d y)/(d x) = - 3 x^2

(d y)/(d x) = - (3 x^2)/(3 y^2)

(d y)/(d x) = - (x^2)/(y^2)

Passo 3

Agora vamos derivar novamente para termos (d^2 y)/(d x^2) , da mesma forma que no passo 1 :

(d)/(d x) ((d y)/(d x)) = (d)/(d x) (- (x^2)/(y^2))

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 * x^(2 - 1) * y^2 - (- x^2) * 2 * y^(2 - 1) (d y)/(d x))/((y^2)^2)

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x y^2 + 2 x^2 y (d y)/(d x))/(y^4)

Acabamos ficando com (d y)/(d x) na resolução, vamos então substituir (d y)/(d x) = - (x^2)/(y^2) :

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x y^2 + 2 x^2 y (d y)/(d x))/(y^4)

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x y^2 + 2 x^2 y (- (x^2)/(y^2)))/(y^4)

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x y^2 - (2 x^4)/(y))/(y^4)

(d^2 y)/(d x^2) = ((- 2 x y^3 - 2 x^4)/(y))/(y^4)

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x y^3 - 2 x^4)/(y) * (1)/(y^4)

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x y^3 - 2 x^4)/(y^5)

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x (y^3 + x^3))/(y^5)

Passo 4

E agora vamos lembrar a expressão inicial x^3 + y^3 = 1 , ela aparece no nosso resultado, vamos substituir o seu valor nele:

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x (y^3 + x^3))/(y^5)

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x * 1)/(y^5)

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x)/(y^5)

Pronto, encontramos (d^2 y)/(d x^2) por derivação implícita!!

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 x)/(y^5)

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