Enunciado

  1. Encontre d y d x por derivação implícita.
  2. Resolva a equação para y como uma função de x e obtenha d y d x dessa equação.
  3. Confirme que os dois resultados são consistentes expressando a derivada de (a) como uma função somente de x .

x + x y - 2 x 3 = 2

Passo 1

  1. Para usar derivação implícita nós temos que derivar ambos os lados, tratando y como uma função diferenciável de x , vamos lá:
  2. d d x x + x y - 2 x 3 = d d x 2

    1 + 1 ⋅ y + x ⋅ d y d x - 6 x 2 = 0

    1 + y + x ⋅ d y d x - 6 x 2 = 0

    Agora vamos reorganizar, vamos deixar o d y d x no lado esquerdo, e passar todo o resto pro lado direito:

    1 + y + x ⋅ d y d x - 6 x 2 = 0

    x ⋅ d y d x = 6 x 2 - 1 - y

    d y d x = 6 x 2 - 1 - y x

    Passo 2

  3. Primeiro vamos escrever a equação isolando o y :
  4. x + x y - 2 x 3 = 2

    x y = 2 x 3 - x + 2

    y = 2 x 3 - x + 2 x

    Pronto, agora é só derivar:

    d y d x = 2 ⋅ 3 ⋅ x 3 - 1 - 1 + 0 x - 2 x 3 - x + 2 ⋅ 1 x 2 = 6 x 2 - 1 x - 2 x 3 + x - 2 x 2 =

    = 6 x 3 - x - 2 x 3 + x - 2 x 2 = 4 x 3 - 2 x 2

    Passo 3

  5. Aqui vamos pegar o resultado da derivada da letra (a) e substituir o valor de y que isolamos na letra (b):

d y d x = 6 x 2 - 1 - y x

y = 2 x 3 - x + 2 x

Substituindo:

d y d x = 6 x 2 - 1 - y x = 6 x 2 - 1 - 2 x 3 - x + 2 x x = 6 x 2 - 1 + - 2 x 3 + x - 2 x x = 6 x 3 - x - 2 x 3 + x - 2 x x =

= 6 x 3 - x - 2 x 3 + x - 2 x ⋅ 1 x = 4 x 3 - 2 x 2

Pronto, achamos o mesmo resultado da letra (b).

Resposta

  1. d y d x = 6 x 2 - 1 - y x
  2. d y d x = 4 x 3 - 2 x 2
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine d y / d x por derivação implícita y 2 = 1+x 1-x
Determine d y / d x por derivação implícita x y = 2
Determine d y / d x por derivação implícita y ⋅ e t g - 1 x = 2
Determine d y / d x por derivação implícita x 2 y 2 = 1
Determine d y / d x por derivação implícita x y = 1