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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 14

Encontre d y // d x por derivação implícita.

e^y sen x = x + x y

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão qure que calculemos a derivada (d y)/(d x) da seguinte equação utilizando derivação implícita:

e^y sen x = x + x y

Para isso, devemos derivar ambos os lados da equação e fazer algumas manipulações de forma que isolemos a derivada (d y)/(d x) (ou y^' ).

Se ainda não entendeu, vamos juntos que vai ficar melhor!! 😉

Ah, antes é importante lembrarmos de duas regrinhas de derivação que podem nos ajudar aqui.

Uma é a regra do produto em que:

(u v)^' = u^' v + u v^'

E a regra da cadeia, onde:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Agora bora lá!!

Passo 2

Primeiro passo é derivar ambos os lados da função em relação a x , assim:

(d)/(d x) (e^y sen x) = (d)/(d x) (x + x y)

Fazendo a derivada da esquerda, utilizando a regra da cadeia e a regra do produto, temos:

(d)/(d x) (e^y sen x) = e^y cos x + sen x * e^y y^'

E a derivada da direita:

(d)/(d x) (x + x y) = 1 + x y^' + y * 1

Igualando as duas expressões, temos:

e^y cos x + sen x * e^y y^' = 1 + x y^' + y * 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar y^' :

Primeiro vamos organizar a expressão, até isolarmos y ' , então,

e^y sen x * y^' - x y^' = 1 + y - e^y :.

y^' (x e^y + 1) = 1 - e^y cos x

Ajeitando mais um pouquinho:

y^' (e^y sen x - x) = 1 + y - e^y cos x

E isso nos dá que:

y^' = (1 + y - e^y cos x)/(e^y sen x - x)

Resposta

y^' = (1 + y - e^y cos x)/(e^y sen x - x)

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