Encontre dy/dx por derivação implícita.

e^y \* sen(x) = x + xy

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão qure que calculemos a derivada d y d x da seguinte equação utilizando derivação implícita:

e y sen ⁡ x = x + x y

Para isso, devemos derivar ambos os lados da equação e fazer algumas manipulações de forma que isolemos a derivada d y d x (ou y ' ).

Se ainda não entendeu, vamos juntos que vai ficar melhor!! 😉

Ah, antes é importante lembrarmos de duas regrinhas de derivação que podem nos ajudar aqui.

Uma é a regra do produto em que:

u v ' = u ' v + u v '

E a regra da cadeia, onde:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Agora bora lá!!

Passo 2

Primeiro passo é derivar ambos os lados da função em relação a x , assim:

d d x e y sen ⁡ x = d d x x + x y

Fazendo a derivada da esquerda, utilizando a regra da cadeia e a regra do produto, temos:

d d x e y sen ⁡ x = e y cos ⁡ x + sen ⁡ x ⋅ e y y '

E a derivada da direita:

d d x x + x y = 1 + x y ' + y ⋅ 1

Igualando as duas expressões, temos:

e y cos ⁡ x + sen ⁡ x ⋅ e y y ' = 1 + x y ' + y ⋅ 1

Passo 3

Agora, precisamos encontrar y ' :

Primeiro vamos organizar a expressão, até isolarmos y ' , então,

e y sen ⁡ x ⋅ y ' - x y ' = 1 + y - e y ∴

y ' x e y + 1 = 1 - e y cos ⁡ x

Ajeitando mais um pouquinho:

y ' e y sen ⁡ x - x = 1 + y - e y cos ⁡ x  

E isso nos dá que:

y ' = 1 + y - e y cos ⁡ x   e y sen ⁡ x - x

Resposta

y ' = 1 + y - e y cos ⁡ x   e y sen ⁡ x - x

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