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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 8.1 - Ex. 12

Ache o comprimento da curva.

y = ln ( cos x ) , 0 <= x <= pi // 3

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar o comprimento da curva y = ln ( cos x ) , no intervalo 0 <= x <= pi // 3 .

Pra isso, precisamos lembrar da fórmula do comprimento de arco:

L = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x

Onde y^' é a derivada da nossa função e [ a , b ] é o intervalo considerado. Então, basta substituir tudo na fórmula e calcular a integral.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando a nossa função, usando a regra da cadeia. Assim, temos:

y^' = (1)/(cos x) * (cos x)^'

y^' = - (s e n x)/(cos x)

Como (sin x)/(cos x) = tan x , temos:

y^' = - tan x

Elevando esse resultado ao quadrado e somando 1 , pra ficar igual ao integrando da nossa fórmula, vamos ter:

1 + (y^')^2 = 1 + tan^2 x

Agora usando a identidade trigonométrica 1 + tan^2 x = sec^2 x , temos que

sqrt(1 + (y^')^2) = sqrt(sec^2 x)

= | sec x |

Como no intervalo dado o cosseno é positivo, a secante também é, de modo que |sec x| = sec x . Assim, nossa integral vai ficar:

L = int_a^b sqrt(1 + (y^')^2) d x = int_0^((pi)/(3)) sec x d x

Passo 3

Aqui vale lembrar que a primitiva da secante é ln | sec x + t g x | . Então, integrando, teremos:

L = [ln |sec x + t g x|]_0^((pi)/(3))

E aplicando os intervalos de integração:

L = ln (sec (pi)/(3) + t g (pi)/(3)) - ln (sec 0 + t g 0)

Assim,

L = ln ( 2 + sqrt(3) ) - ln (1 + 0)

L = ln ( 2 + sqrt(3) )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

ln ( 2 + sqrt(3) )

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