Encontre dy/dx por derivação implícita.

e^y \* cos(x) = 1 + sen(xy)

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão qure que calculemos a derivada d y d x da seguinte equação utilizando derivação implícita:

e y sen ⁡ x = x + x y

Para isso, devemos derivar ambos os lados da equação e fazer algumas manipulações de forma que isolemos a derivada d y d x (ou y ' ).

Se ainda não entendeu, vamos juntos que vai ficar melhor!! 😉

Ah, antes é importante lembrarmos de duas regrinhas de derivação que podem nos ajudar aqui.

Uma é a regra do produto em que:

u v ' = u ' v + u v '

E a regra da cadeia, onde:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Agora bora lá!!

Passo 2

Primeiro passo é derivar ambos os lados da função em relação a x , assim:

d dx e y ⁡ cos ⁡ x = d d x 1 + sen ⁡ x y

Fazendo a derivada da esquerda, utilizando a regra do produto e regra da cadeia:

d dx e y ⁡ cos ⁡ x = e y ( - sen ⁡ x ) + cos ⁡ x ⋅ e y ⋅ y '

E, fazendo a derivada da esquerda:

d d x 1 + sen ⁡ x y = cos ⁡ x y ⋅ ( x y ' + y ⋅ 1 )

Igualando os dois resultados, obtemos:

e y ( - sen ⁡ x ) + cos ⁡ x ⋅ e y ⋅ y ' = cos ⁡ x y ⋅ ( x y ' + y ⋅ 1 )

Passo 3

Agora, vamos arrumar a equação, e isolarmos y ' , então, ficamos com:

- e y sen ⁡ x + e y cos ⁡ x ⋅ y ' = x cos ⁡ x y ⋅ y ' ⋅ y cos ⁡ x y ∴

e y cos ⁡ x ⋅ y ' - x cos ⁡ x y ⋅ y ' = e y sen ⁡ x + y cos ⁡ ( x y ) ∴

[ e y cos ⁡ x - x cos ⁡ ( x y ) ] y ' = e y sen ⁡ x + y cos ⁡ ( x y )

Isolando y ' :

y ' = e y sen ⁡ x + y cos ⁡ ( x y ) e y cos ⁡ x - x cos ⁡ ( x y )

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' = e y sen ⁡ x + y cos ⁡ ( x y ) e y cos ⁡ x - x cos ⁡ ( x y )

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