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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.5 - Ex. 19

Encontre d y // d x por derivação implícita.

e^y cos x = 1 + sen ( x y )

Passo 1

Eaeee, belezinha?? Bom... a questão qure que calculemos a derivada (d y)/(d x) da seguinte equação utilizando derivação implícita:

e^y sen x = x + x y

Para isso, devemos derivar ambos os lados da equação e fazer algumas manipulações de forma que isolemos a derivada (d y)/(d x) (ou y^' ).

Se ainda não entendeu, vamos juntos que vai ficar melhor!! 😉

Ah, antes é importante lembrarmos de duas regrinhas de derivação que podem nos ajudar aqui.

Uma é a regra do produto em que:

(u v)^' = u^' v + u v^'

E a regra da cadeia, onde:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Agora bora lá!!

Passo 2

Primeiro passo é derivar ambos os lados da função em relação a x , assim:

(d)/(dx) e^y cos x = (d)/(d x) (1 + sen (x y))

Fazendo a derivada da esquerda, utilizando a regra do produto e regra da cadeia:

(d)/(dx) e^y cos x = e^y ( - sen x ) + cos x * e^y * y^'

E, fazendo a derivada da esquerda:

(d)/(d x) (1 + sen (x y)) = cos (x y) * ( x y^' + y * 1 )

Igualando os dois resultados, obtemos:

e^y ( - sen x ) + cos x * e^y * y^' = cos (x y) * ( x y^' + y * 1 )

Passo 3

Agora, vamos arrumar a equação, e isolarmos y ' , então, ficamos com:

- e^y sen x + e^y cos x * y^' = x cos (x y) * y^' * y cos (x y) :.

e^y cos x * y^' - x cos (x y) * y^' = e^y sen x + y cos ( x y ) :.

[ e^y cos x - x cos ( x y ) ] y ' = e^y sen x + y cos ( x y )

Isolando y ' :

y^' = (e^y sen x + y cos ( x y ))/(e^y cos x - x cos ( x y ))

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y^' = (e^y sen x + y cos ( x y ))/(e^y cos x - x cos ( x y ))

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