Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 10
Encontre por derivação implícita.
Passo 1
Fala aí. Tudo belezinha com você?
Bom, essa questão pede pra gente encontrar por derivação implícita, dada a expressão:
Ou seja, queremos a derivada de em relação a . Mas na expressão que temos, o não está isolado na igualdade. E nós não conseguimos fazer com que ele fique isolado. É por isso que precisaremos fazer uma derivação implícita.
A ideia aqui será derivar ambos os lados da equação em relação a , assim:
E depois, tentarmos isolar a própria derivada na expressão resultante. Aí termos o que o enunciado pediu.
Vem comigo que vou te mostra como fazer tudo isso.
Passo 2
Nossa expressão é
E aplicando a derivada dos dois lados em relação a , ficamos com:
Agora nossa missão é resolver cada derivada dessa.
Vamos por partes aqui. Ok?
Passo 3
Vamos começar derivando
Perceba que aqui temos um produto de duas funções.
Sendo
Podemos entender que:
E
Como temos um produto, a derivada será calculada usando a regra do produto. Assim:
Onde:
E para
Precisaremos de uma regra da cadeia, já que é função de . Assim:
Show. Aplicando a regra do produto, ficamos com:
Que substituindo se torna:
E arrumando um pouquinho, temos:
Passo 4
E para o lado direito temos:
E a derivada será dada por:
Show.
Agora basta juntar tudo.
Passo 5
Lembrando que estávamos fazendo
E vimos que
e
Então. Igualando tudo, ficamos com:
Primeiro vamos organizar a expressão, até isolarmos , então,
Colocando em evidência:
E isolando, teremos:
E prontinho. Derivação implícita concluída com sucesso!!!