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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 9

Encontre (d y)/(d x) por derivação implícita.

sen (x^2 y^2) = x

Passo 1

Primeiro vamos usar derivação implícita, nós temos que derivar ambos os lados, tratando y como uma função diferenciável de x , vamos lá:

(d)/(d x) (sen (x^2 y^2)) = (d)/(d x) (x)

cos (x^2 y^2) (d)/(d x) (x^2 y^2) = 1

cos (x^2 y^2) (2 x^(2 - 1) y^2 + x^2 * 2 y^(2 - 1) (d y)/(d x)) = 1

cos (x^2 y^2) (2 x y^2 + 2 x^2 y (d y)/(d x)) = 1

Passo 2

Agora vamos reorganizar, vamos deixar o (d y)/(d x) no lado esquerdo, e passar todo o resto pro lado direito:

cos (x^2 y^2) (2 x y^2 + 2 x^2 y (d y)/(d x)) = 1

2 x y^2 + 2 x^2 y (d y)/(d x) = (1)/(cos (x^2 y^2))

2 x^2 y (d y)/(d x) = (1)/(cos (x^2 y^2)) - 2 x y^2

2 x^2 y (d y)/(d x) = (1 - 2 x y^2 cos (x^2 y^2))/(cos (x^2 y^2))

(d y)/(d x) = (1 - 2 x y^1 cos (x^2 y^2))/(cos (x^2 y^2) 2 x^2 y)

Pronto, encontramos (d y)/(d x) por derivação implícita!!

Resposta

(d y)/(d x) = (1 - 2 x y^1 cos (x^2 y^2))/(cos (x^2 y^2) 2 x^2 y)

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