Enunciado

Use um recurso gráfico computacional para determinar o número de vezes que as curvas se intersectam; aplique, então, o Método de Newton, quando necessário, para aproximar as coordenadas x   de todas as intersecções.

y = 1   e   y = e x s e n   x ,     0 < x < π

Passo 1

E aí? Tudo joia? Vamos jogar esses gráficos no Geogebra pra ver essas interseções aí? Olha só:

Como o gráfico nos mostra, são duas interseções! Vamos determinar onde elas são agora direitinho...

Passo 2

Pra achar a interseção a gente precisa fazer:

1 = e x s e n   x

e x s e n   x - 1 = 0

Pelo gráfico a gente vê que uma das interseções tá ali próxima de x = 1 2 e a outra próxima de x = 3 .

Vamos usar o Método de Newton pra aproximar esses valores então...

Passo 3

Pra usar o método de Newton, a gente precisa fazer:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos derivar a função então:

f ' x = e x s e n   x + e x cos ⁡ x

Pra primeira interseção, vamos usar x 1 = 1 2 :

x 2 = 1 2 - e 1 2 s e n   1 2 - 1 e 1 2 s e n   1 2 + e 1 2 cos ⁡ 1 2 = 0,63256

x 3 = 0,5896

x 4 = 0,5885

Tá tendo pouquinha variação já, então podemos parar por aqui e dizer que nossa interseção tá em aproximadamente x = 0,59 .

Passo 4

Falta a gente ver a outra interseção agora né? Vamos ver...

A gente pode chamar nosso x 1 = 3 e usar a mesma relação ali de cima:

x 2 = 3 - e 3 s e n   3 - 1 e 3 s e n   3 + e 3 cos ⁡ 3 = 3,1076

x 3 = 3,0965

x 4 = 3,0964

Tá variando muito pouquinho, então já podemos dizer que nossa outra interseção está aproximadamente em x = 3,1 .

E prontinho😉

Resposta

x = 0,59   e   x = 3,1

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