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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 11

Encontre (d y)/(d x) por derivação implícita.

tg^3 (x y^2 + y) = x

Passo 1

Primeiro vamos usar derivação implícita, nós temos que derivar ambos os lados, tratando y como uma função diferenciável de x , vamos lá:

(d)/(d x) (tg^3 (x y^2 + y)) = (d)/(d x) (x)

3 tg^(3 - 1) (x y^2 + y) (d)/(d y) (tg (x y^2 + y)) = 1

3 tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y) (d)/(d y) (x y^2 + y) = 1

3 tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y) (1 * y^2 + x * 2 y^(2 - 1) (d y)/(d x) + (d y)/(d x)) = 1

3 tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y) (y^2 + 2 x y (d y)/(d x) + (d y)/(d x)) = 1

Passo 2

Agora vamos reorganizar, vamos deixar o (d y)/(d x) no lado esquerdo, e passar todo o resto pro lado direito:

3 tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y) (y^2 + 2 x y (d y)/(d x) + (d y)/(d x)) = 1

3 tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y) y^2 + 2 x y * 3 tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y) (d y)/(d x) + 3 tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y) (d y)/(d x) = 1

3 y^2 tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y) + 6 x y tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y) (d y)/(d x) + 3 tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y) (d y)/(d x) = 1

(d y)/(d x) (6 x y tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y) + 3 tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y)) = 1 - 3 y^2 tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y)

(d y)/(d x) = (1 - 3 y^2 tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y))/(6 x y tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y) + 3 tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y))

Pronto, encontramos (d y)/(d x) por derivação implícita!!

Resposta

(d y)/(d x) = (1 - 3 y^2 tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y))/(6 x y tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y) + 3 tg^2 (x y^2 + y) sec^2 (x y^2 + y))

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