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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 37

Encontre a derivada da função.

y = cotg^2 (sen theta)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = cotg^2 (sin theta)

Mas para isso vamos precisar usar a regra da cadeia, que é:

(d y)/(d theta) = (d u)/(d theta) xx (d y)/(d u)

A gente pega o que ta dificultando a nossa derivação e chama ela de u ! Mas o que ta dificultando?

Você concorda comigo que se tivéssimos:

y = cotg^2 (u)

A derivação seria mais simples?!

Então:

u = sin theta

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos começar!!

Primeiro achamos (d u)/(d theta) :

(d u)/(d theta) = (d)/(d theta) (sin theta) = cos theta

Passo 3

Agora vamos para próxima:

y = cotg^2 (u)

E agora?! Como a gente resolve?!

Podemos usar a regra da cadeia de novo!!

y = v^2

v = c o t g ( u )

Temos a regra da cadeia:

(d y)/(d u) = (d y)/(d v) xx (d v)/(d u)

Primeiro derivamos y :

(d y)/(d v) = 2 v

Agora v :

(d v)/(d u) = - c o s s e c^2 ( u )

Substituindo na regra da cadeia:

(d y)/(d u) = 2 v xx (- c o s s e c^2 (u))

Substituindo v :

(d y)/(d u) = 2 c o t g ( u ) xx (- c o s s e c^2 (u))

Passo 4

Nos Passos 2 e 3 encontramos:

(d u)/(d theta) = cos theta

(d y)/(d u) = 2 c o t g ( u ) xx (- c o s s e c^2 (u))

Podemos substituir na regra da cadeia do Passo 1:

(d y)/(d theta) = (d u)/(d theta) xx (d y)/(d u)

Ficamos com:

(d y)/(d theta) = cos theta xx [2 c o t g (u) xx (- c o s s e c^2 (u))]

Relembrando que:

u = sin theta

Então:

(d y)/(d theta) = cos theta xx [2 c o t g (sin theta) xx (- c o s s e c^2 (sin theta))]

Dando uma arrumadinha:

(d y)/(d theta) = - 2 (cos theta xx c o t g (sin theta) xx c o s s e c^2 (sin theta))

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

(d y)/(d theta) = - 2 (cos theta xx c o t g (sin theta) xx c o s s e c^2 (sin theta))

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Seja g uma função derivável. Verifique queb) [sec g (x)]^' = sec g (x) tan g (x) * g^' (x)
Determine alpha de modo que y = e^(alpha x) verifique a equação (d^2 y)/(d x^2) - 3 (d y)/(d x) + 2 y = 0 .
A função diferenciável y = f x é tal que, para todo x ∈ D f , o ponto x ,f x é solução da equação x y 3 + 2 x y 2 + x = 4 . Sabe-se que f 1 = 1 . Calcule f ' 1 .
Derive.l) y = (x^2 + cotan x^2)^3
Seja y = y x definida no intervalo aberto I e tal que, para todo x em I , d y d x = x 2 + y 2 Verifique que, para todo x em I , d 2 y d x 2 = 2 x + 2 x 2 y + 2 y 3