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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 3.4 - Ex. 8

Encontre a derivada da função.

F (x) = (x ² - x + 1)^3

Passo 1

Vamos analisar a função, é um polinômio de grau 2 , e ainda elevado ao grau 3 , vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

F ' (x) = f ' (g (x)) . g ' (x)

Passo 2

Temos que achar quais são as funções f (x) e g (x) , temos que:

F (x) = f (g (x))

g (x) é a função mais de dentro e f (x) a função mais de fora:

g (x) = x^2 - x + 1 e f (u) = u^3

Passo 3

Vamos agora aplicar na regra, vamos resolver separadamente os termos, vamos ter que usar a fórmula da derivada de polinômio e a regra da função constante, vamos dá uma olhada nelas:

Do polinômio:

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Da função constante:

(c)^' = 0

Agora é só aplicar, vamos lá?

Passo 4

Vamos resolver separadamente os termos:

Primeiro vamos calcular g ' (x) usando as duas regras:

g ' (x) = (x ²) ' + (- x) ' + (1) ' = 2 x^(2 - 1) - 1 x^(1 - 1) + 0 = 2 x - x^0 = 2 x - 1

Agora f ' (u) , vamos usar a regra da derivada de polinômio:

f^' ( u ) = (u^3)^' = (3 u^(3 - 1)) = 3 u^2

Passo 5

Agora é só substituir de volta na fórmula:

F ' (x) = ((x ² - x + 1)^3) ' = f ' (g (x)) . g ' (x) = (3 u^2) . (2 x - 1)

E por último é só substituir a expressão de u e pronto:

F ' (x) = 3 (x ² - x + 1)^2 . (2 x - 1)

Resposta

F ' (x) = 3 (x ² - x + 1)^2 . (2 x - 1)

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