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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 22

Seja y = y x definida no intervalo aberto I e tal que, para todo x em I ,

d y d x = x 2 + y 2

Verifique que, para todo x em I ,

d 2 y d x 2 = 2 x + 2 x 2 y + 2 y 3

Passo 1

Vamos derivar d y d x em relação a x , para obter a derivada de 2 ª ordem:

d 2 y d x 2 = d d x d y d x

d 2 y d x 2 = x 2 + y 2 '

Usamos a regra da soma:

d 2 y d x 2 = x 2 ' + y 2 '

d 2 y d x 2 = 2 x + y 2 '

Passo 2

Temos y = y x , ou seja, y é uma função de x . Logo, devemos usar a regra da cadeia para calcular y 2 ' :

d 2 y d x 2 = 2 x + y 2 '

d 2 y d x 2 = 2 x + 2 y d y d x

Mas d y d x = x 2 + y 2 , então:

d 2 y d x 2 = 2 x + 2 y x 2 + y 2

d 2 y d x 2 = 2 x + 2 x 2 y + 2 y 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre a equação da reta tangente ao gráfico no ponto especificado. y = x 1 - x 2 , x = 0
Encontre d^2 y // d x^2 :y = x cos ( 5 x ) - s e n^2 x
Encontre a derivada indicada.y = c o t g^3 (pi - theta) ; encontre (d y)/(d theta) .
Encontre a derivada indicada.x = c o s s e c^2 ((pi)/(3) - y) , e n c o n t r e (d x)/(d y)
Encontre a derivada indicada.(d)/(d omega) [a cos^2 pi omega + b s e n^2 pi omega] , a e b c o n s t a n t e s