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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 27

Ache (d y)/(d x)

e^(x + y) = cos^(- 1) x

Passo 1

Para acharmos essa derivada, temos que derivar cada lado da equação que ele deu no enunciado. E fazere a derivada implícita, lembrando que:

y = y (x)

Então quando derivarmos y , temos que colocar = y^' junto. Porque é a regra da cadeia.

Começando com e^(x + y) , a derivada de e^x é ela mesma. Então:

(e^(x + y))^' = (x + y)^' e^(x + y) = (1 + y^') e^(x + y)

Passo 2

Vamos para o outro lado

(cos^(- 1) x)^' = - (1)/(sqrt(1 - x^2))

Dessa forma vamos ter, na nossa equação:

(1 + y^') e^(x + y) = - (1)/(sqrt(1 - x^2))

Vamos isolar o y^'

e^(x + y) + y^' e^(x + y) = - (1)/(sqrt(1 - x^2))

y^' e^(x + y) = - (1)/(sqrt(1 - x^2)) - e^(x + y)

Vamos passar o e^(x + y) dividindo para o outro lado.

y^' = - (1)/(e^(x + y) sqrt(1 - x^2)) - 1

Resposta

y^' = - (1)/(e^(x + y) sqrt(1 - x^2)) - 1

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