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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 21

Encontre a derivada da função dada:

h (x) = cosh^(- 1) (cosec x)

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de cosh^(- 1)

(cosh^(- 1) x)^' = (1)/(sqrt(x^2 - 1))

Vamos fazer

h (x) = f (g (x))

Com

f (x) = cosh^(- 1) x

g (x) = cosec x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

h^' (x) = f^' (g (x)) g^' (x)

Temos

f^' (x) = (1)/(sqrt(x^2 - 1))

Que é a derivada de cosh^(- 1)

Então

h^' (x) = (1)/(sqrt((g (x))^2 - 1)) g^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de g (x)

g (x) = cosec x -> g^' (x) = - cosec x cotg x

Vamos ter

h^' (x) = (1)/(sqrt((cosec x)^2 - 1)) . (- cosec x cotg x)

h^' (x) = (- cosec x cotg x)/(sqrt((cosec x)^2 - 1))

Resposta

h^' (x) = (- cosec x cotg x)/(sqrt((cosec x)^2 - 1))

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