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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 6

Encontre a derivada da função dada:

g (x) = x^2 sen^(- 1) 2 x

Passo 1

g (x) = x^2 sen^(- 1) 2 x

Vamos usar a regra da cadeia e regra do produto aqui. Pela regra do produto

g^' (x) = (x^2)^' sen^(- 1) 2 x + x^2 (sen^(- 1) 2 x)^'

Temos que achar a derivada daquele cosh^(- 1) x^2 usando a regra da cadeia.

Fazendo

F (x) = sen^(- 1) 2 x

Chamei de F (x) só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

F (x) = w (h (x))

Com

w (x) = sen^(- 1) x

h (x) = 2 x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F^' (x) = w^' (h (x)) h^' (x)

Temos

w^' (x) = (1)/(sqrt(1 - x^2))

Então

F^' (x) = (1)/(sqrt(1 - (h (x))^2)) h^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h (x)

h (x) = 2 x -> h^' (x) = 2

Vamos ter

f^' (x) = (1)/(sqrt(1 - (2 x)^2)) 2

f^' (x) = (2)/(sqrt(1 - 4 x^2))

Passo 3

Voltando para nossa função inicial:

f^' (x) = (x^2)^' sen^(- 1) 2 x + x^2 (sen^(- 1) 2 x)^'

f^' (x) = 2 x cosh^(- 1) 2 x + x^2 (2)/(sqrt(1 - 4 x^2))

f^' (x) = 2 x cosh^(- 1) 2 x + (2 x^2)/(sqrt(1 - 4 x^2))

Resposta

f^' (x) = 2 x cosh^(- 1) 2 x + (2 x^2)/(sqrt(1 - 4 x^2))

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