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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 13

Encontre a derivada da função dada:

h (y) = y sen^(- 1) 2 y

Passo 1

h (y) = y sen^(- 1) 2 y

Vamos usar a regra da cadeia e regra do produto aqui. Pela regra do produto

h^' (y) = (y)^' sen^(- 1) 2 y + y (sen^(- 1) 2 y)^'

Temos que achar a derivada daquele sen^(- 1) 2 y usando a regra da cadeia.

Fazendo

F (y) = sen^(- 1) 2 y

Chamei de F (x) só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

F (y) = g (w (y))

Com

g (y) = sen^(- 1) y

w (y) = 2 y

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F^' (y) = g^' (w (y)) w^' (y)

Temos

g^' (y) = (1)/(sqrt(1 - y^2))

Então

F^' (y) = (1)/(sqrt(1 - (w (y))^2)) w^' (y)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de w (y)

w (y) = 2 y -> w^' (y) = 2

Vamos ter

F^' (y) = (1)/(sqrt(1 - (2 y)^2)) 2

F^' (y) = (2)/(sqrt(1 - 4 y^2))

Passo 3

Voltando para nossa função inicial:

h^' (y) = (y)^' sen^(- 1) 2 y + y (sen^(- 1) 2 y)^'

h^' (y) = 1 sen^(- 1) 2 y + y (2)/(sqrt(1 - 4 y^2))

h^' (y) = sen^(- 1) 2 y + (2 y)/(sqrt(1 - 4 y^2))

Resposta

h^' (y) = sen^(- 1) 2 y + (2 y)/(sqrt(1 - 4 y^2))

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