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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 6

Calcule a integral indefinida.

int sqrt(1 - u^2) d u

Passo 1

Primeiramente vamos pegar o sqrt(1 - u^2) e desenvolver a Identidade Pitagórica.

t = sqrt(1 - u^2)

t^2 = 1^2 - u^2

t^2 + u^2 = 1^2

Montando o triângulo temos

Com base nesse triângulo vamos usar a seguinte relação trigonométrica sin theta = (u)/(1)

Passo 2

Agora vamos aplicar a seguinte substituição chamar u = sin theta e também as mudanças necessárias.

u = sin theta

d u = cos theta d theta

int (sqrt(1 - (sin theta)^2)) cos theta d theta

Passo 3

Vamos aplicar a Identidade Trigonométrica e substituir cos^2 theta por (1)/(2) (cos 2 theta + 1) .

int (sqrt(1 - (sin theta)^2)) cos theta d theta

cos^2 theta + sin^2 theta = 1

int cos^2 theta d theta

int (1)/(2) (cos 2 theta + 1) d theta

(1)/(2) int (cos 2 theta + 1) d theta

Passo 4

Agora podemos resolver a integral e em seguida desfazer as mudanças através da relação trigonométrica sin 2 theta = 2 sin theta cos theta e as do triângulo montado anteriormente sin theta = (u)/(1) e cos theta = (sqrt(1 - u^2))/(1) .

(1)/(2) int (cos 2 theta + 1) d theta

(1)/(4) sin 2 theta + (1)/(2) theta + c

(1)/(2) sin theta cos theta + (1)/(2) theta + c

(1)/(2) u sqrt(1 - u^2) + (1)/(2) sin^(- 1) (u) + c

Resposta

(1)/(2) u sqrt(1 - u^2) + (1)/(2) sin^(- 1) (u) + c

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