Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 9.4 - Ex. 6

Calcule a integral indefinida.

int sqrt(1 - u^2) d u

Passo 1

Primeiramente vamos pegar o sqrt(1 - u^2) e desenvolver a Identidade Pitagórica.

t = sqrt(1 - u^2)

t^2 = 1^2 - u^2

t^2 + u^2 = 1^2

Montando o triângulo temos

Com base nesse triângulo vamos usar a seguinte relação trigonométrica sin theta = (u)/(1)

Passo 2

Agora vamos aplicar a seguinte substituição chamar u = sin theta e também as mudanças necessárias.

u = sin theta

d u = cos theta d theta

int (sqrt(1 - (sin theta)^2)) cos theta d theta

Passo 3

Vamos aplicar a Identidade Trigonométrica e substituir cos^2 theta por (1)/(2) (cos 2 theta + 1) .

int (sqrt(1 - (sin theta)^2)) cos theta d theta

cos^2 theta + sin^2 theta = 1

int cos^2 theta d theta

int (1)/(2) (cos 2 theta + 1) d theta

(1)/(2) int (cos 2 theta + 1) d theta

Passo 4

Agora podemos resolver a integral e em seguida desfazer as mudanças através da relação trigonométrica sin 2 theta = 2 sin theta cos theta e as do triângulo montado anteriormente sin theta = (u)/(1) e cos theta = (sqrt(1 - u^2))/(1) .

(1)/(2) int (cos 2 theta + 1) d theta

(1)/(4) sin 2 theta + (1)/(2) theta + c

(1)/(2) sin theta cos theta + (1)/(2) theta + c

(1)/(2) u sqrt(1 - u^2) + (1)/(2) sin^(- 1) (u) + c

Resposta

(1)/(2) u sqrt(1 - u^2) + (1)/(2) sin^(- 1) (u) + c

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral ∫ d u u 5 - u 2
(b) Use a substituição hiperbólica x = sinh ⁡ t para mostrar que ∫ d x x 2 + a 2 = sinh - 1 ⁡ x a + C
Calcule a integral ∫ 0 a x 2 a 2 - x 2 d x
Use substituição trigonométrica pra mostrar que ∫ d x x 2 + a 2 = ln ⁡ x + x 2 + a 2 + C
Calcule a integral ∫ t 25 - t 2 d t