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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 26

Encontre a derivada da função dada:

f (t) = sen^(- 1) (t - 1)/(t + 1)

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de sen^(- 1)

(sen^(- 1) x)^' = (1)/(sqrt(1 - t^2))

Vamos fazer

f (t) = g (h (t))

Com

g (t) = sen^(- 1) t

h (t) = (t - 1)/(t + 1)

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

f^' (t) = g^' (h (t)) h^' (t)

Temos

g^' (t) = (1)/(sqrt(1 - t^2))

Que é a derivada de sen^(- 1)

Então

f^' (t) = (1)/(sqrt(1 - (h (t))^2)) h^' (t)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h (t) , para isso vamos usar a regra do quociente:

h (t) = (t - 1)/(t + 1) -> h^' (t) = ((t - 1)^' (t + 1) - (t - 1) (t + 1) ')/((t + 1)^2) = ((t + 1) - (t - 1))/((t + 1)^2)

h^' (t) = (2)/((t + 1)^2)

Vamos ter

f^' (t) = (1)/(sqrt(1 - ((t - 1)/(t + 1))^2)) . (2)/((t + 1)^2)

f^' (t) = (1)/(sqrt(1 - ((t - 1)^2)/((t + 1)^2))) . (2)/((t + 1)^2)

f^' (t) = (1)/(sqrt(((t + 1)^2 - (t - 1)^2)/((t + 1)^2))) . (2)/((t + 1)^2)

f^' (t) = (1)/((sqrt((t + 1)^2 - (t - 1)^2))/(sqrt((t + 1)^2))) . (2)/((t + 1)^2)

f^' (t) = (1)/((sqrt((t + 1)^2 - (t - 1)^2))/(|t + 1|)) . (2)/((t + 1)^2)

f^' (t) = (|t + 1|)/(sqrt(( t^2 + 2 t + 1 ) - (t^2 - 2 t + 1))) . (2)/((t + 1)^2)

Lembrando que:

(t + 1)^2 = |t + 1|^2

f^' (t) = (|t + 1|)/(sqrt(4 t)) . (2)/(|t + 1|^2)

f^' (t) = (|t + 1|)/(2 sqrt(t)) . (2)/(|t + 1|^2)

f^' (t) = (1)/(|t + 1| sqrt(t))

Resposta

f^' (t) = (1)/(|t + 1| sqrt(t))

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