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Esboce f(x) = sen^(-1)(x) e suas duas primeiras derivadas em um único gráfico. Comente o comportamento de f e a forma do gráfico em relação aos sinais e valores de f' e f'' .

Passo 1

Fazendo a derivada de f ( x ) :

f = sin - 1 ⁡ x

sin ⁡ f = x

Derivando em relação a x:

cos ⁡ f × d f d x = 1

d f d x = f ' = 1 cos ⁡ f

cos 2 ⁡ f + sin 2 ⁡ f = 1

cos ⁡ f = 1 - sin 2 ⁡ f  

Como sin ⁡ f = x

cos ⁡ f = 1 - x 2

f ' = 1 1 - x 2

Passo 2

Fazendo a segunda derivada:

f ' ' = 1 ' 1 - x 2 1 2 - 1 1 - x 2 1 2 ' 1 - x 2

Fazendo a regra do produto:

f ' ' = 0 - 1 2 1 - x 2 - 1 2 × - 2 x 1 - x 2 = + x 1 - x 2 3 2

Resposta

f ( x ) é limitada em x de -1 até 1 e em y ela é limitada em - π 2 até π 2 , e para x positivo essa função tem concavidade para cima assim quando f ' ' é positivo e para x negativo ela tem concavidade para baixo também quando f ' ' é negativo e a função tem um ponto de inflexão em x = 0 que é o ponto de mínimo absoluto de f ' . Além da função ser toda crescente, pois f ' é sempre positivo.

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