Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 59
Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente derivar a função , sabendo que varia no intervalo e que é maior que e que é maior que zero.
Repare que nós temos um quociente de funções trigonométricas dentro da função arco cosseno. Isso significa que temos uma função composta e queremos derivá-la. Então, precisamos usar a regra da Cadeia. Lembra dela?
Na regra da cadeia fazemos a derivada da função de fora, aplicada na função de dentro, multiplicada pela derivada da função de dentro. Assim:
Sacou? No nosso caso, é o arco cosseno e é (não esquece que pra derivar esse quociente também usamos a regra do quociente).
Beleza! Tendo isso, vamos usar as condições das inequações que ele nos deu para obter o resultado final da nossa derivada.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar derivando a nossa função, usando a regra da cadeia. A derivada do arco cosseno é tabela e dada por:
Só que no nosso caso, esse é a função que tá dentro do argumento da função. Então, vai ficar assim:
Agora falta derivar a função de dentro. Usando a regra do quociente, temos:
Expandindo os termos ao quadrado:
E simplificando, vamos obter:
Passo 3
Mas o enunciado nos deu a seguinte condição:
E se varia entre e , nosso seno vai ser sempre positivo:
Além disso, enunciado nos diz que:
Isso implica que:
Assim, vamos ter:
E como ele é maior que zero, significa que também é positivo, então podemos remover o módulo.
Dessa forma, podemos simplificar a expressão que obtivemos no passo anterior, levando em consideração esses resultados, para obter:
Valeu, galera! Até a próxima! 😉