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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.7 - Ex. 8

Use (a) a Regra do Trapézio, (b) a Regra do Ponto Médio e (c) de a Regra de Simpson para aproximar a integral dada com o valor n especificado.

∫ 0 2 1 1 + x 6 ,   n = 8

Passo 1

Para solucionarmos a questão, no trapézio, precisamos calcular o ∆ x . A regra do Trapézio é dada por

∫ a b f ( x ) d x ≈ T n = ∆ x 2 [ f ( x 0 ) + 2 f ( x 1 ) + … + 2 f ( x n - 1 ) + f ( x n ) ]

Onde:

∆ x = b - a n

Para o ponto médio, temos que

∫ a b f ( x ) d x ≈ M n = ∆ x [ f x - 1 + f x - 2 + … + f x - n ]

Onde: x - i = 1 2 ( x i - 1 + x 1 ) .

Para a regra de Simpson,

∫ a b f x d x ≈ S n = ∆ x 3 [ f ( x 0 ) + 4 f ( x 1 ) + 2 f ( x 2 ) + 4 f ( x 3 ) + … + 2 f x n - 1 + 4 f x n - 1 + f x n ]

Passo 2

Fazendo para a regra do trapézio, temos

∆ x = b - a n

∆ x = 2 - 0 8

Logo, ∆ x = 1 4 .

Aplicando na integral,

T 8 = 1 4 × 2 [ f 0 + 2 f 0,2 5 + 2 f 0,5 + 2 f ( 0 , 75 ) + 2 f ( 1 ) + 2 f ( 1 ) + 2 f ( 1,2 5 ) + 2 f ( 1 , 5 ) + 2 f ( 1,75 ) + f ( 2 ) ]

T 8 ≈ 1,040756

Para o ponto médio, temos que

M 8 = 1 4 [ f 0,1 25 + f 0,3 75 + f 0 , 62 5 + f 0 , 875 + f 1,125 + f 1,375 + f 1 , 625 + f ( 1,875 ) ]

M 8 ≈ 1,041109

Para a regra de Simpson, fazemos novamente seguindo o modelo,

S 8 = 1 3 × 4 [ 0 + 4 f 0,2 5 + 2 f 0,5 + 4 f 0,75 + 2 f 1 + 4 f 1 , 25 + 2 f 1 , 5 + 4 f 1 , 75 + f ( 2 ) ]

S 8 ≈ 1,042172

Resposta

T 8 ≈ 1,04075 6 , M 8 ≈ 1,041109 e S 8 ≈ 1,042172 .

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